Bugün öğrendim ki: Cebrail'in boynuzu hakkında, sonsuz yüzey alanına sahip ancak sonlu hacme sahip bir tür geometrik şekildir
Sonsuz yüzey alanı ama sonlu hacme sahip geometrik şekil
Gabriel boynuzu (aynı zamanda Torricelli borusu olarak da bilinir), sonsuz yüzey alanı ancak sonlu hacme sahip bir geometrik şekil türüdür. Adı, melek Cebrail'in Kıyamet Gününü duyurmak için boru çalması Hristiyan geleneğine işaret eder. Bu şeklin özellikleri, 17. yüzyılda İtalyan fizikçi ve matematikçi Evangelista Torricelli tarafından ilk kez incelenmiştir.
Bu renkli gayriresmi isimler ve dinle ilgili göndermeler daha sonra ortaya çıkmıştır. Torricelli'nin kendi adı, 1643'te yazdığı ve 1643 yılında yayınlanan "De solido hyperbolico acuto" adlı Latin makalesinde yer alır; kesik bir sivri hiperbolik katı, bir düzlemle kesilir. Ardından ki yıl yayınlanan "Opera geometrica" adlı eserinin 1. cildinin 1. bölümü bu makale ve kesik bir sivri hiperbolik katının hacmi hakkındaki teoreminin, o zamana göre daha ortodoks olan Archimedes tarzında ikinci bir ispatını içeriyordu. Bu isim, 18. yüzyılın matematik sözlüklerinde kullanılmış, bunların arasında Harris'in 1704 tarihli sözlüğündeki "Hyperbolicum Acutum", Stone'un 1726 tarihli sözlüğü ve d'Alembert'in 1751 tarihli Fransızca çevirisi "Solide Hyperbolique Aigu" yer almaktadır.
Çağdaşları tarafından öncelik verilmesine rağmen, Torricelli, sonsuz uzunlukta ama sonlu hacme veya alana sahip bir şekli ilk tanımlayan kişi değildi. 14. yüzyılda Nicole Oresme'nin çalışmaları ya unutulmuştu ya da onlar tarafından bilinmiyordu. Oresme, sonlu toplam alanı 2 olan iki kareyi geometrik bir dizi kullanarak alt bölümlere ayırarak, sonsuz uzunlukta, bir dizi dikdörtgenden oluşan, bir boyutta sonsuz bir şekil oluşturdu.
Matematiksel tanım
[düzenle]
Gabriel boynuzu, y = 1/x, x ≥ 1 aralığıyla tanımlanan eğrinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulmuştur. Keşif, hesaplama icadından önce Cavalieri ilkesi kullanılarak yapılmış, ancak günümüzde hesaplama, x = 1 ve x = a (a > 1) arasındaki boynuzun hacmi ve yüzey alanını hesaplamak için kullanılabilir. Entegrasyon kullanarak (ayrıntılar için Devrim Katısı ve Devrim Yüzeyine bakın), hacim V ve yüzey alanı A bulunabilir: V = π∫1a (1/x)^2 dx = π (1 – 1/a), A = 2π∫1a (1/x)√(1 + (-1/x^2)^2) dx > 2π∫1a (dx/x) = 2π ⋅ [ln x]1a = 2π ln a.
a değeri istenildiği kadar büyük olabilir, ancak denklemden görüldüğü gibi, x = 1 ve x = a arasındaki boynuzun parçasının hacmi asla π'den fazla olamaz; ancak, a arttıkça kademeli olarak π'ye yaklaşır. Hesaplamanın limit gösterimi kullanılarak, lim a → ∞ V = lim a → ∞ π (1 – 1/a) = π ⋅ lim a → ∞ (1 – 1/a) = π.
Yukarıdaki yüzey alanı formülü, alan için 2π çarpı a'nın doğal logaritması olarak alt sınır verir. a sonsuza yaklaştıkça, a'nın doğal logaritması için üst sınır yoktur. Bu durumda, boynuzun sonsuz bir yüzey alanı olduğu anlamına gelir. Yani, lim a → ∞ A ≥ lim a → ∞ 2π ln a = ∞.
De solido hyperbolico acuto'da
[düzenle]
Torricelli'nin orijinal hesaplama dışı ispatı, biraz farklı olan bir obje kullanıyordu. Bu obje, x eksenine dik bir düzlemle sivri hiperbolik katıyı kestikten sonra, aynı tabanlı bir silindirle zıt taraftan uzatılarak oluşturulmuştur. Hesaplama yöntemi, kesme düzlemini x = 1 noktasında belirleyip x ekseni boyunca entegrasyon yaparak ilerlerken, Torricelli bu bileşik katının (eklenen silindirle birlikte) hacmini, içerisindeki y ekseni boyunca bir dizi konsantrik dik silindirin yüzey alanlarını toplayarak ve bunun başka bir katının (sonlu) hacmini toplamaya eşit olduğunu göstererek buldu.
Modern terminolojide, bu katı, fonksiyonun (kesinlikle pozitif b için)
y = {1/c, 0 ≤ x ≤ b,
1/x, b ≤ x
dönme yüzeyi oluşturularak oluşturuldu. ve Torricelli teoremine göre, hacminin, yüksekliği 1/b ve yarıçapı √2 olan dik silindirin hacmi ile aynı olduğu bulundu.
Teorem. Sonsuz uzunlukta bir sivri hiperbolik katı, eksenine dik bir düzlemle kesildiğinde, aynı tabanlı bir silindirle birlikte, bu sivri cismin tabanının yarıçapı kadar olan dik bir silindir ile eşittir.
— De solido hyperbolico acuto. Evangelista Torricelli. 1643. Çeviren G. Loria ve G. Vassura 1919.
Torricelli, katının hacminin, yarıçapları 1/b ≥ r ≥ 0 olan bu konsantrik dik silindirlerin yüzey alanlarından türetilebileceğini gösterdi ve yükseklikleri h = 1/r idi. Bu silindirlerin (yalnızca yanlarının) yüzey alanları için formülü yerine koyduğunda, tüm silindirler için sabit bir yüzey alanı olan 2πrh = 2πr × 1/r = 2π elde edildi. Bu aynı zamanda √2 yarıçaplı bir çemberin alanı olup, silindirlerin iç içe geçmiş yüzeyleri (katının hacmini doldurur) bu nedenle 0'dan 1/b'ye kadar dizilmiş √2 yarıçaplı dairelerin yığılmış alanlarına eşdeğerdir ve bu da söz konusu dik silindirin hacmini verir, bu da V = πr^2h = π(√2)^2 × 1/b = 2π/b olduğu biliniyor:
Dolayısıyla, tüm silindir yüzeyleri birlikte alındığında, yani ebd katısı, fedc tabanlı silindirle birlikte, tüm dairelerin birlikte alındığı, yani acgh silindiriyle aynı olacaktır. Quod erat etc.
— De solido hyperbolico acuto. Evangelista Torricelli. 1643. Jacqueline A. Stedall tarafından 2013'te çevrilmiştir.
(Eklenen silindirin hacmi elbette Vc = πr^2 × h = π(1/b)^2 × b = π/b'dir ve bu nedenle kesilmiş sivri hiperbolik katının yalnız hacmi Vs = V – Vc = 2π/b – π/b = π/b'dir. b = 1 ise, modern hesaplama türevinde olduğu gibi Vs = π'dir.)
Opera geometrica'da bu, (kesilmiş) sivri hiperbolik katının hacminin iki ispatından biridir. Bu ispatta Cavalieri'nin bölünmezlerinin kullanımı o dönemde tartışmalıydı ve sonucu şok ediciydi (Torricelli daha sonra Gilles de Roberval'ın bunu çürütmeye çalıştığını kaydetti); bu nedenle Opera geometrica yayınlandığında, De solido hyperbolico acuto'dan bir yıl sonra, Torricelli ayrıca, dik silindirin (yüksekliği 1/b, yarıçapı √2 olan) hem katının hacmi için üst hem de alt sınır olduğunu gösteren, ortodoks Archimedes ilkelerine dayalı ikinci bir ispat sundu. Garip bir şekilde, bu, Archimedes'in kendisinin de Parabolün Karekökü'nde Dositheus'a mekanik ve geometrik olmak üzere iki kanıt vermesinin bir yankısıydı.
Görünür paradoks
[düzenle]
Gabriel boynuzunun özellikleri keşfedildiğinde, x ekseni etrafında xy düzleminin sonsuz genişliğindeki bir kısmının döndürülmesinin sonlu hacimli bir nesne üretmesinin bir paradoks olduğu düşünüldü. xy düzleminde yer alan bölümün sonsuz bir alanı varken, ona paralel herhangi bir diğer bölümün sonlu bir alanı vardır. Bu nedenle, hacim, bölümlerin "tartılı toplamı"ndan hesaplandığından sonludur.
Başka bir yaklaşım, nesneyi azalan yarıçaplara sahip disk yığını olarak ele almaktır. Yarıçapların toplamı, sonsuza giden harmonik bir seridir. Ancak, doğru hesaplama, karelerinin toplamıdır. Her diskin r = 1/x yarıçapı, πr^2 veya π/x^2 alanı vardır. ∑1/x serisi yakınsamamaz, ancak ∑1/x^2 serisi yakınsar. Genel olarak, herhangi bir gerçek ε > 0 için ∑1/x^(1+ε) serisi yakınsar. (Bu sonucun ayrıntıları için Riemann zeta fonksiyonunun özel değerlerine bakın)
Görünür paradoks, o zamanın önemli düşünürlerinden çoğu, Thomas Hobbes, John Wallis ve Galileo Galilei dahil, sonsuzun doğasıyla ilgili bir tartışmanın parçasıydı.
Düzlemdeki uzunluklar ve alanlar için benzer bir olay vardır. 1/x^2 ve -1/x^2 eğrileri arasındaki alan 1'den sonsuza kadar sonludur, ancak iki eğrinin uzunlukları açıkça sonsuzdur.
1666 tarihli Lectiones'inin 16. dersinde Isaac Barrow, Torricelli teoreminin Aristoteles'in genel prensibini (De Caelo kitabının 1. bölümü, 6. kısım) "sonlu ile sonsuz arasında orantı yoktur" diye sınırlandırdığını savundu. Aristoteles kendisi, kesin olarak, sonsuz bir cismin fiziksel varlığının imkansızlığı yerine, geometrik soyutlama olarak imkansızlığını savunmuştu. Barrow, o zamanki 17. yüzyıl görüşünü benimsemişti, Aristoteles'in sözü ve diğer geometrik aksiyomlar (7. derste söylediği gibi) "daha yüksek ve evrensel bir bilimden", hem matematiği hem de fiziği destekliyordu. Bu nedenle, Torricelli'nin sonlu (hacim) ile sonsuz (alan) arasında bir ilişkiye sahip bir nesnenin gösterimi, en azından kısmen bu prensibe aykırıydı. Barrow'un açıklaması, Aristoteles'in sözünün hala geçerli olduğu ancak yalnızca aynı tür şeyler karşılaştırıldığında, uzunluk ile uzunluk, alan ile alan, hacim ile hacim vb. karşılaştırıldığında geçerli olduğu yönündeydi. Bu söz, iki farklı cinse (örneğin alan ile hacim) karşılaştırıldığında geçerli değildi ve bu nedenle sonsuz bir alan sonlu bir hacme bağlanabilirdi.
Başkaları Torricelli teoremini, modern bakış açısından matematiğe ilgisi olmayan kendi felsefi iddialarını desteklemek için kullandılar. Ignace-Gaston Pardies 1671'de, sivri hiperbolik katıyı, sonlu insanların sonsuzu anlayabileceği savında kullandı ve bunu Tanrı'nın ve maddi olmayan ruhların varlığının kanıtı olarak sundu. Sonlu madde sonsuzu anlayamayacağına göre, Pardies, insanların bu ispatı anlayabildiğinin, insanların maddeden daha fazla ve maddi olmayan ruhlara sahip olmaları gerektiğini savundu. Bununla birlikte, Antoine Arnauld, insanların burada bir paradoks algıladıkları için, insan düşüncesinin anlayabileceği şeylerde sınırlı olduğunu ve dolayısıyla ilahi, dini gerçekleri çürütme görevi için yeterli olmadığını savundu.
Hobbes ve Wallis arasındaki tartışma aslında matematik alanındaydı: Wallis, sonsuz ve bölünemez yeni kavramları coşkuyla benimseyerek, Torricelli'nin çalışmasına dayanarak daha fazla sonuç çıkarıp bunları Torricelli'nin geometrik argümanları yerine aritmetik kullanarak genişletti; Hobbes ise matematik, sonlu şeylerin gerçek dünya algılarından türetildiği için, matematiksel anlamda "sonsuzun" sadece "belirsiz" anlamına gelebileceğini savundu. Bu, her ikisinin de Kraliyet Topluluğu'na ve Felsefe İşlemlerine sert mektuplar yazmasına, Hobbes'un bir noktada Wallis'e "deli" diye hitap etmesine neden oldu. 1672'de Hobbes, "doğal ışık"ın (yani sağduyunun) sonsuz uzunlukta bir şeyin sonsuz bir hacme sahip olması gerektiğini iddia ettiği yönündeki görüşünü sürdürmek için Torricelli teoremini, sonsuza kadar uzatılmış sonlu bir katı hakkındaki bir teorem olarak yeniden yorumlamaya çalıştı. Bu, Hobbes'un geometrisinin sıfır genişliğe sahip çizgi fikrinin kullanımını yanlış bulduğu ve Cavalieri'nin bölünemezler fikrinin de yanlış olduğu diğer iddialarıyla örtüşüyordu. Wallis, Torricelli'nin teorisine dayanarak, geometrinin ve mantığın "M. Hobs [sic] ustasının" sahip olduğundan daha fazla bilgi gerektiren, sonsuz alan/hacim ama kütle merkezi olmayan geometrik şekillerin varlığını savundu. Ayrıca argümanları, geometrik bölünemezler dizileri yerine aritmetik sonsuzlukların dizileri olarak aritmetik terimlerle yeniden yapılandırdı.
Oresme, bir boyut sonsuza yaklaşırken diğer bir boyut sonsuza yaklaşırken, sonsuz uzunlukta bir şeklin sonlu bir alana sahip olabileceğini zaten göstermişti. Barrow'un kendi sözleriyle "bir boyutun sonsuz azalması, diğer boyutun sonsuz artışını telafi ediyor" durumunda, Apollonius hiperbolünün xy = 1 denklemi geçerlidir.
Ressamın paradoksu
[düzenle]
Boynuzun sonlu bir hacme ancak sonsuz bir yüzey alanına sahip olması nedeniyle, boynuzun sonlu bir miktar boya ile doldurulabileceği halde, bu boyanın yüzeyini kaplamak için yeterli olmayacağı yönünde bir paradoks vardır. Bununla birlikte, bu paradoks yine yalnızca "boya"nın eksik bir tanımı nedeniyle veya doldurma ve boyama eylemleri için çelişkili boya tanımları nedeniyle bir görünür paradoks.
Sonsuz derecede bölünebilir (veya sonsuza kadar inceltilebilir veya Hobbes'un eleştirdiği sıfır genişliğindeki geometrik çizgiler gibi basitçe sıfır genişlikte olabilen) ve sonsuz hızda seyahat edebilen bir "matematiksel" boya veya gerçek dünyadaki boyaların özelliklerine sahip olan bir "fiziksel" boya düşünülebilir. Her ikisi için de görünür paradoks ortadan kalkar:
"Matematiksel" boya ile, sonsuz yüzey alanı, sonsuz boya hacmini gerektirmez, çünkü sonsuz yüzey alanı çarpı sıfır kalınlıktaki boya belirsizdir.
Fiziksel boya ile, katının dışını boyamak sonsuz miktarda boya gerektirir çünkü fiziksel boya sıfırdan farklı bir kalınlığa sahiptir. Torricelli teoremi, katının dışındaki sonlu genişlikte bir katman hakkında konuşmaz, bu da aslında sonsuz hacme sahip olur. Dolayısıyla sonsuz boya hacmi ile kaplanacak sonsuz yüzey alanı arasında bir çelişki yoktur. Ayrıca, Torricelli teoreminin sonlu hacmini fiziksel boya ile katının içini boyamak da mümkün değildir, böylece çelişki yoktur. Bunun nedeni, fiziksel boyalar katının hacminin bir yaklaşımını doldurabilmesidir. Moleküller 3 boyutlu uzayı tamamen kaplamaz ve boşluklar bırakır ve katının "boğazı" boya moleküllerinin aşağı akması için çok dardır.
Fiziksel boya sınırlı bir hızla hareket eder ve aşağı akması sonsuz zaman alır. Bu, ayrıca sonsuz hızda akıp yeterli hızda inceleyen "matematiksel" boya için de geçerlidir. π hacimli boya ile, kaplanması gereken yüzey alanı A sonsuza yaklaştıkça, boyanın kalınlığı π/A sıfıra yaklaşır. Katı ile olduğu gibi, bir boyutta sonsuz artan yüzey alanının, diğer bir boyuttaki boyanın sonsuz azalışıyla telafi edildiği de geçerlidir.
Ters
[düzenle]
Torricelli'nin sivri hiperbolik katısının tersine, sonlu bir yüzey alanı ancak sonsuz bir hacme sahip bir devrim yüzeyi vardır.
Marin Mersenne'den öğrendikten sonra Torricelli teoremine yanıt olarak, Christiaan Huygens ve René-François de Sluse birbirlerine diğer sonsuz uzunluktaki devrim katıları için teoremi genişletme hakkında mektuplar yazdılar; bunlar yanlışlıkla böyle bir tersi bulma olarak tanımlanmıştır.
Ütrecht Üniversitesi'nde matematik profesörü olan Jan A. van Maanen, 1990'larda bir konferansta, de Sluse'un 1658'de Huygens'a böyle bir şekil bulduğunu yanlışlıkla belirttiğini bildirdi:
evi opera dedicator meansura vasculie, pondere non magni, quod interim helluo nullus ebibat
(Küçük ağırlığa sahip (veya vazoya) bir içecek kabının ölçüsünü veriyorum, ancak en azından en zor içiciler bile boşaltabilir.)
— de Sluse, Huygens'a yazdığı bir mektupta, Jan A. van Maanen'ın çevirisi.
Bunun cevabını (Hong Kong Üniversitesi'nden Tony Gardiner ve Man-Keung Siu) aldı: sonlu bir yüzey alanına sahip herhangi bir devrim yüzeyinin kaçınılmaz olarak sonlu bir hacme sahip olmasıdır.
Profesör van Maanen, bunun de Sluse'un mektubunun yanlış yorumlanması olduğunu ve de Sluse'un aslında "kase" şeklindeki katının sonlu bir hacme (ve dolayısıyla "küçük ağırlığa") sahip olduğunu ve sonsuz bir hacimli bir boşluk içerdiğini bildirdiğini fark etti.
Huygens ilk olarak (cissoid ve asimptot arasında) iki boyutlu döndürülmüş şeklin alanının sonlu olduğunu gösterdi ve alanının cissoid'in üreten çemberinin alanının 3 katı olduğunu hesapladı ve de Sluse bu devrim katısının sonlu bir hacme sahip olduğunu, sonlu bir alan ve sonlu bir dönme yörüngesinin ürünü olduğunu göstermek için Pappus'un merkez teoremini uyguladı. Alan döndürülüyor, de Sluse aslında sonuçlanan döndürülmüş hacmin yüzey alanı hakkında hiçbir şey söylemedi.
Bu tür bir ters olay temelde gerçekleşemez:
D, R'nin bağlı bir alt kümesi olsun. f, D üzerinde sürekli türevlenebilir bir gerçek değerli fonksiyon olsun. y = f(x) eğrisinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan devrim katısının yüzey alanı S sonlu ise, aynı zamanda sonlu bir hacme de sahiptir.
Ayrıca bakınız
[düzenle]
Koch kar tanesi – Fraktal eğri
Picard boynuzu – Wilkinson Mikrodalga Anizotropi Sondası'na göre evrenin 'şeklini' temsil eden koni şeklindeki bir oluşum
Yalancı küre – Geometrik yüzey
Evrenin şekli – Evrenin yerel ve küresel geometrisi
Zenon paradoksları – Felsefi problemler kümesi
Referanslar
[düzenle]
Referans bibliyografisi
[düzenle]
Bressoud, David M. (2021). Calculus Reordered: A History of the Big Ideas. Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN 9780691218786.
Chang, Mark (2012). Paradoxes in Scientific Inference. CRC Basımı. ISBN 9781466509863.
de Pillis, John (2002). 777 Matematiksel Konuşma Başlatıcısı. Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN 9780883855409.
Fleron, Julian F. (1999). "Gabriel'in Düğün Pastası". College Mathematics Journal. 30 (1): 35–38. doi:10.2307/2687201. JSTOR 2687201.
Havil, Julian (2007). Nonplussed!: mantıksız fikirlerin matematiksel kanıtı. Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN 978-0-691-12056-0.
Jones, Matthew L. (2008). Bilimsel Devrimde İyi Yaşam: Descartes, Pascal, Leibniz ve Erdemin Geliştirilmesi. Chicago Üniversitesi Yayınları. ISBN 9780226409566.
Klymchuk, Sergiy; Staples, Susan (2013). Hesaplamadaki Paradokslar ve Sofizmalar. Amerikan Matematik Derneği. ISBN 9781614441106.
Król, Zbigniew (2018). "Matematikte sonsuzluk kavramına ilişkin temel seziler tarihsel ve teolojik bir bakış açısıyla". Szatkowski, Mirosław (ed.). Tanrı, Zaman, Sonsuzluk. Felsefi Analiz. Cilt 75. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 9783110592030.
Mancosu, Paolo (1999). "Sonsuzluk Paradoksları". On Yedinci Yüzyılda Matematiğin ve Matematik Uygulamalarının Felsefesi. Oxford Üniversitesi Yayınları. ISBN 9780195132441.
Nahin, Paul J. (2021). En Azı En İyi Zamam: Matematikçilerin Şeyleri Mümkün Olduğu Kadar Küçük (veya Büyük) Yapmanın Pek Çok Akıllıca Yöntemi. Princeton Bilim Kütüphanesi. Cilt 118. Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN 9780691218762.
Pickover, Clifford (2008). Archimedes'ten Hawking'e: Bilim Yasaları ve Arkalarındaki Büyük Zekalar. OUP ABD. ISBN 9780195336115.
Struik, D. J. (1969). Matematikte Bir Kaynak Kitabı, 1200-1800. Bilimlerin Tarihindeki Kaynak Kitapları. Cilt 11. Harvard Üniversitesi Yayınları. ISBN 9780674823556.
van Maanen, Jan A. (1995). "Alüvyal birikimler, koni kesitleri ve uygunsuz bardaklar veya matematik derslerinde kullanılan tarih". Swetz, Frank (ed.). Ustalardan Öğrenin!. Sınıf kaynak malzemeleri. Cilt 3. Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN 9780883857038. ISSN 1557-5918.
Wallis, John (2013). "Giriş". Stedall, Jacqueline A. (ed.). Sonsuzlukların Hesabı. Matematik ve Fizik Bilimlerinin Tarihindeki Kaynaklar ve Çalışmalar. Springer Bilim ve İşletme Ortaklığı Medya. ISBN 9781475743128.
İleri okuma
[düzenle]
Royer, Melvin (2012). "Gabriel'in Diğer Mülkleri". PRIMUS: Matematik Lisansüstü Öğrenimindeki Problemler, Kaynaklar ve Konular. 22 (4): 338–351. doi:10.1080/10511970.2010.517601. S2CID 119721808.
Fleron, Julian F. "Gabriel'in Düğün Pastası" (PDF). Orijinalden (PDF) 2016-12-13 tarihinde arşivlendi.
Lynch, Mark. "Paradoksal Boya Kovası".
Love, William P. (Ocak 1989). "Süper katılar: Sonlu hacim ve sonsuz yüzey alanlara sahip katılar". Matematik Öğretmeni. 82 (1): 60–65. doi:10.5951/MT.82.1.0060. JSTOR 27966098.