Bugün öğrendim ki: Milenyum ödülü problemini çözen tek matematikçi olan Grigori Perelman'ın, 1 milyon ABD doları tutarındaki ödülü, Perelman'ın çalışmalarını temel alan Richard S. Hamilton'a teklif edilmediği için reddettiği bildirildi.
Yedi matematik problemi, her çözüm için 1 milyon dolarlık ödülle
Bu makale, matematik ödülleri hakkında. Teknoloji ödülü için bkz. Milenyum Teknoloji Ödülü.
Milenyum Ödül Problemleri, 2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü tarafından seçilen, yedi bilinen karmaşık matematik problemidir. Clay Enstitüsü, her problem için ilk doğru çözüme 1 milyon ABD doları ödül vaat etmiştir.
Clay Matematik Enstitüsü, 24 Mayıs 2000'de düzenlenen Milenyum Toplantısı'nda, Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı, Hodge varsayımı, Navier-Stokes varlığı ve düzgünlüğü, P karşı NP problemi, Riemann hipotezi, Yang-Mills varlığı ve kütle boşluğu ve Poincaré varsayımı olmak üzere yedi çözümsüz matematik problemini resmi olarak Milenyum Problemi başlığı altında belirledi. Böylece, Clay Matematik Enstitüsü'nün resmi web sitesinde, bu yedi problem resmi olarak Milenyum Problemleri olarak adlandırılır.
Bugüne kadar çözülmüş olan tek Milenyum Ödülü problemi, Poincaré varsayımıdır. Clay Enstitüsü, 2010'da Rus matematikçi Grigori Perelman'a para ödülünü verdi. Ancak, ödülü, Perelman'ın çalışmasına temel teşkil eden Richard S. Hamilton'a da sunulmadığı için reddetti.
Genel Bakış
[düzenle]
Clay Enstitüsü, 1900'de matematikçi David Hilbert tarafından düzenlenen ve 20. yüzyılda matematiğin ilerlemesini büyük ölçüde etkileyen yirmi üç problem kümesinden ilham almıştır. [1] Seçilen yedi problem, cebirsel geometri, aritmetik geometri, geometrik topoloji, matematiksel fizik, sayılar teorisi, kısmi diferansiyel denklemler ve teorik bilgisayar bilimi olmak üzere bir dizi matematik alanını kapsamaktadır. Clay Enstitüsü'nün seçtiği problemler, Hilbert'in problemlerinin aksine, profesyonel matematikçiler arasında zaten tanınıyordu ve çözümüne aktif olarak katkıda bulunan birçok kişi vardı. [2]
Yedi problem, 24 Mayıs 2000'de (Collège de France'daki Marguerite de Navarre amfitiyatrosunda) Paris'te düzenlenen bir törende John Tate ve Michael Atiyah tarafından resmen duyuruldu. [3]
1990'larda Poincaré varsayımı üzerinde çalışmaya başlayan Grigori Perelman, 2002 ve 2003 yıllarında kanıtını yayınladı. 2010'da Clay Enstitüsü'nün para ödülünü reddetmesi medyada büyük yankı uyandırdı. Amatör ve profesyonel matematikçilerin sayısız yetersiz kanıtı olmasına rağmen, diğer altı Milenyum Ödülü Problemi hala çözümsüz kaldı.
Clay Enstitüsü'nün bilimsel danışma kurulu üyesi Andrew Wiles, 1 milyon dolarlık ödülün, genel kitleler arasında hem seçilen problemleri hem de "matematik çabalarının heyecanını" yaygınlaştırmayı umuyordu. [4] Alan madalyası sahibi Alain Connes, çözülmemiş problemlerle ilgili kamuoyu algısının matematiğin "bilgisayarlar tarafından ele geçirileceği" yanlış fikrine karşı mücadele etmesine yardımcı olacağını umuyordu. [5]
Bazı matematikçiler daha eleştireldi. Anatoly Vershik, para ödülünü "günümüz kitle kültürünün en kötü tezahürlerinden biri" olarak nitelendirdiği "gösteri işletmesi" olarak nitelendirdi ve matematiğe yönelik kamu desteğinde yatırım yapmak için daha anlamlı yollar olduğunu düşündü. [6] Perelman ve çalışmalarına ilişkin yüzeysel medya yorumlarını ve ödül değerine aşırı odaklanmasını şaşırtıcı bulmadı. Tersine, Vershik, Clay Enstitüsü'nün araştırma konferanslarına ve genç araştırmacılara doğrudan finansman sağlamasını övdü. Vershik'in yorumları, daha sonra bir vakfın temel matematiksel soruları "uygulamak" ve "adını vermek" fikrini eleştiren Alan madalyası sahibi Shing-Tung Yau tarafından da yankılandı. [7]
Çözülen problem
[düzenle]
Poincaré varsayımı
[düzenle]
Ana madde: Poincaré varsayımı
Geometrik topoloji alanında, iki boyutlu bir küre, kapalı ve basit bağlantılı tek iki boyutlu yüzey olmasıyla karakterize edilir. 1904'te Henri Poincaré, analojik bir ifadenin üç boyutlu şekiller için de geçerli olup olmadığı sorusunu ortaya attı. Bu, Poincaré varsayımı olarak bilinmeye başladı ve kesin formülasyonu şöyledir:
Herhangi bir kapalı ve basit bağlantılı üç boyutlu topolojik manifold, 3-küreye homeomorfik olmalıdır.
Varsayım genellikle bu biçimde ifade edilse de, 1950'lerde keşfedildiği üzere, düz manifoldlar ve difeomorfizmler bağlamında ifade etmek eşdeğerdir.
Bu varsayımın, daha güçlü geometrileştirme varsayımıyla birlikte, Grigori Perelman tarafından 2002 ve 2003 yıllarında kanıtı verildi. Perelman'ın çözümü, önceki yirmi yıl boyunca geliştirdiği geometrileştirme varsayımının çözümü için Richard Hamilton'ın programını tamamladı. Hamilton ve Perelman'ın çalışmaları, Rieman geometrisi alanında tanımlanan karmaşık bir kısmi diferansiyel denklemler sistemi olan Hamilton'ın Ricci akışına dayanıyordu.
Ricci akışı teorisine yaptığı katkılar nedeniyle Perelman 2006'da Alan Madalyası'na layık görüldü. Ancak ödülü kabul etmeyi reddetti. [8] Poincaré varsayımının kanıtı için Perelman, 18 Mart 2010'da Milenyum Ödülü'ne layık görüldü. [9] Ancak, ödülü ve ilgili para ödülünü reddetti ve Hamilton'ın katkısının kendisininkinden daha az olmadığını belirtti. [10]
Çözümsüz problemler
[düzenle]
Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı
[düzenle]
Ana madde: Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı
Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı, belirli türdeki denklemlerle ilgilenir: rasyonel sayılar üzerindeki eliptik eğrileri tanımlayan denklemler. Varsayım, bu tür denklemlerin sonlu veya sonsuz sayıda rasyonel çözüme sahip olup olmadığını söylemenin basit bir yolu olduğudur. Daha spesifik olarak, Milenyum Ödülü versiyonundaki varsayım, eğer eliptik eğri E'nin sırası r ise, onunla ilişkili L fonksiyonu L(E, s), s=1 noktasında r. mertebesinde sıfırdır.
Hilbert'in onuncu problemi, daha genel bir denklem türüyle ilgileniyordu ve bu durumda, verilen bir denklemin çözüme sahip olup olmadığını belirlemek için algoritmik bir yol olmadığı kanıtlandı.
Problemin resmi ifadesi Andrew Wiles tarafından yapıldı. [11]
Hodge varsayımı
[düzenle]
Ana madde: Hodge varsayımı
Hodge varsayımı, projektif cebirsel çeşitler için Hodge döngülerinin, cebirsel döngülerin rasyonel doğrusal kombinasyonları olduğudur.
Hdg k ( X ) = H 2 k ( X , Q ) ∩ H k , k ( X ) . {\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}
Buna X üzerindeki 2k derecesindeki Hodge sınıfları grubu diyoruz.
Hodge varsayımının modern ifadesi şöyledir:
X, tekil olmayan karmaşık bir projektif çeşit olsun. O zaman X üzerindeki her Hodge sınıfı, X'in karmaşık alt çeşitlerinin kohomoloji sınıflarının rasyonel katsayılarla bir doğrusal kombinasyonudur.
Problemin resmi ifadesi Pierre Deligne tarafından yapıldı. [12]
Navier-Stokes varlığı ve düzgünlüğü
[düzenle]
∂ u ∂ t ⏟ Değişim + ( u ⋅ ∇ ) u ⏟ Konveksiyon ⏞ İнерция (hacim başına) − ν ∇ 2 u ⏟ Yayılma = − ∇ w ⏟ İç kaynak ⏞ Gerilme diverjansı + g ⏟ Dış kaynak . {\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Değişim}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Konveksiyon}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{İнерция (hacim başına)}}\overbrace {{}-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Yayılma}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{İç}}\\{\text{kaynak}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Gerilme diverjansı}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Dış}}\\{\text{kaynak}}\end{smallmatrix}}.}
Navier-Stokes denklemleri, akışkanların hareketini tanımlar ve akışkan mekaniğinin temel taşlarından biridir. Bilim ve mühendislikteki önemine rağmen, çözümlerinin teorik anlayışı eksiktir. Üç boyutlu denklem sistemi için ve bazı başlangıç koşulları verildiğinde, matematikçiler her zaman pürüzsüz çözümlerin var olduğunu kanıtlayamamışlardır. Buna Navier-Stokes varlığı ve düzgünlüğü problemi denir.
Sıkıştırılamaz akış durumu için kısıtlanan problem, belirli koşulları karşılayan pürüzsüz, küresel olarak tanımlanmış çözümlerin varlığını ya da her zaman var olmadıklarını ve denklemlerin bozulduğunu kanıtlamaktır. Problemin resmi ifadesi Charles Fefferman tarafından yapılmıştır. [13]
P karşı NP
[düzenle]
Ana madde: P karşı NP problemi
Bir algoritmanın verilen bir çözümü hızlı bir şekilde (yani polinom zamanda) doğrulayabildiği tüm problemler için, bir algoritmanın aynı çözümü de hızlı bir şekilde bulabilmesi olup olmadığı sorusudur. Birincisi NP olarak adlandırılan problem sınıfını, ikincisi P'yi tanımlarken, soru genellikle NP'deki tüm problemlerin P'de de olup olmadığı sorusuyla eşdeğerdir. Bu genellikle matematikte ve teorik bilgisayar biliminde en önemli çözümsüz sorulardan biri olarak kabul edilir, çünkü matematikteki diğer problemlere, biyolojiye, felsefeye [15] ve kriptografiye (bkz. P karşı NP problemi kanıtı sonuçları) önemli sonuçları vardır. NP sınıfındaki ve P sınıfında bilinmeyen ortak bir örnek, Boole tatmin edilebilirlik problemidir.
Çoğu matematikçi ve bilgisayar bilimci P ≠ NP olduğunu düşünmektedir; ancak, kanıtlanmamıştır. [16]
Problemin resmi ifadesi Stephen Cook tarafından yapılmıştır. [17]
Riemann hipotezi
[düzenle]
Ana madde: Riemann hipotezi
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }
Riemann zeta fonksiyonu ζ(s), argümanları 1 hariç herhangi bir karmaşık sayı olabilen ve değerleri de karmaşık olan bir fonksiyondur. Analitik uzantısının negatif çift tamsayı noktalarında sıfırları vardır; yani, s, −2, −4, −6, ... değerlerinden biri olduğunda ζ(s) = 0'dır. Bunlara önemsiz sıfırları denir. Ancak zeta fonksiyonunun sıfır aldığı negatif çift tamsayılar değildir. Diğerleri önemsiz sıfırlar olarak adlandırılır. Riemann hipotezi, bu önemsiz sıfırların yerleriyle ilgilenir ve şunu belirtir:
Riemann zeta fonksiyonunun her önemsiz sıfırının reel kısmı 1/2'dir.
Riemann hipotezi, Riemann zeta fonksiyonunun analitik uzantısının tüm önemsiz sıfırlarının 1/2 reel kısmına sahip olduğunu belirtir. Bunun bir kanıtı veya çürütülmesi, sayılar teorisinde, özellikle asal sayıların dağılımı konusunda önemli sonuçlar doğuracaktır. Bu, Hilbert'in sekizinci problemiydi ve bir yüzyıl sonra hala önemli bir çözümsüz problem olarak kabul ediliyor.
Problem, 1860 yılında Bernhard Riemann tarafından ilk olarak ortaya atıldıktan sonra iyi bilinmektedir. Clay Enstitüsü'nün problem hakkındaki açıklaması Enrico Bombieri tarafından yapılmıştır. [18]
Yang-Mills varlığı ve kütle boşluğu
[düzenle]
Kuantum alan teorisinde kütle boşluğu, boşluk ile sonraki en düşük enerji durumu arasındaki enerji farkıdır. Boşluğun enerjisi tanım gereği sıfırdır ve tüm enerji durumlarının düz dalgalardaki parçacıklar olarak düşünülebileceği varsayılırsa, kütle boşluğu en hafif parçacığın kütlesidir.
Verilen bir gerçek alan ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} için, teorinin bir kütle boşluğuna sahip olduğunu söyleyebiliriz, eğer iki nokta fonksiyonu özelliğe sahipse
⟨ ϕ ( 0 , t ) ϕ ( 0 , 0 ) ⟩ ∼ ∑ n A n exp ( − Δ n t ) {\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}
ile Δ 0 > 0 {\displaystyle \Delta _{0}>0} Hamiltonian'ın spektrumundaki en düşük enerji değeri ve dolayısıyla kütle boşluğu. Bu nicelik, diğer alanlara kolayca genelleştirilebilir ve genellikle kafes hesaplamalarında ölçülür.
Kuantum Yang-Mills teorisi, düşüncenin temel parçacık fiziğinin gerçekliğine ve potansiyel gerçekliklerine uygulanmasının çoğunluğunun temelini oluşturmaktadır. Teori, renk elektromanyetik alanın kendisinin yüke sahip olduğu Maxwell elektromanyetizma teorisinin bir genelleştirmesidir. Klasik bir alan teorisi olarak, ışık hızında hareket eden çözümleri vardır, böylece kuantum versiyonu kütleli olmayan parçacıkları (gluonları) tanımlamalıdır. Ancak, varsayılan renk hapsetme fenomeni yalnızca gluonların bağlı durumlarını, yani kütleli parçacıkları oluşturmayı mümkün kılar. Bu, kütle boşluğu. Hapsetmenin başka bir yönü de, düşük enerji ölçeklerine kısıtlama olmadan kuantum Yang-Mills teorisinin var olabileceğini düşündüren asimptotik özgürlüktür. Problem, kuantum Yang-Mills teorisinin ve bir kütle boşluğunun varlığını kesin olarak kurmaktır.
Herhangi bir kompakt basit ölçü grubu G için, R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} üzerinde önemsiz olmayan bir kuantum Yang-Mills teorisinin ve Δ > 0 kütle boşluğunun varlığını kanıtlayın. Varlık, en az Streater & Wightman (1964), [20] Osterwalder & Schrader (1973), [21] ve Osterwalder & Schrader (1975)'te [22] bahsedilen aksiyomatik özelliklerin kurulmasını içerir.
Problemin resmi ifadesi Arthur Jaffe ve Edward Witten tarafından yapılmıştır. [23]
Ayrıca bkz
[düzenle]
Matematik portalı
Beal varsayımı
Hilbert problemleri
Matematik ödülleri listesi
Matematikte çözümsüz problemler listesi
Smale problemleri
Paul Wolfskehl (Fermat'ın Son Teoremi'nin çözümü için para ödülü teklif etti)
abc varsayımı
Referanslar
[düzenle]
Bu makale, Creative Commons Attribution/Share-Alike Lisansı altında lisanslanan PlanetMath'teki Milenyum Problemleri maddesinden materyaller içermektedir.
Daha fazla okuma
[düzenle]
Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew, eds. (2006). Milenyum Ödül Problemleri. Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği ve Clay Matematik Enstitüsü. ISBN 978-0-8218-3679-8.
Devlin, Keith J. (2003) [2002]. Milenyum Problemleri: Zamanımızın Yedi En Büyük Çözümsüz Matematik Bilmecesi. New York: Temel Kitaplar. ISBN 0-465-01729-0.