Bugün öğrendim ki: A Beautiful Mind filminde canlandırılan John Nash, 2015 yılında Norveç'te Abel Ödülü'nü aldığı sırada eşiyle birlikte New Jersey Turnpike'de geçirdiği bir araba kazasında hayatını kaybetti.
Amerikalı matematikçi ve Nobel Ödülü sahibi (1928-2015)
John Forbes Nash, Jr. (13 Haziran 1928 – 23 Mayıs 2015), John Nash olarak bilinen ve yayınlanan Amerikalı bir matematikçiydi. Oyun teorisine, reel cebirsel geometriye, diferansiyel geometriye ve kısmi diferansiyel denklemlere temel katkılar sağlamıştı. Nash ve diğer oyun teorisyenleri John Harsanyi ve Reinhard Selten, 1994 Nobel Ekonomi Ödülü'ne layık görüldüler. 2015 yılında Louis Nirenberg ile birlikte Abel Ödülü'ne kısmi diferansiyel denklemler alanındaki katkıları nedeniyle layık görüldü.
Princeton Üniversitesi Matematik Bölümü'nde yüksek lisans öğrencisi iken, Nash, oyun teorisinin ve çeşitli bilimlerdeki uygulamalarının merkezinde yer alan birçok kavramı (Nash dengesi ve Nash pazarlık çözümü dahil) geliştirdi. 1950'lerde Nash, Riemannian geometriğinde ortaya çıkan bir takım doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemleri çözerek Nash gömülme teoremlerini keşfetti ve kanıtladı. Bu çalışma, aynı zamanda Nash-Moser teoreminin öncü bir şeklini de sunuyor ve daha sonra Amerikan Matematik Derneği tarafından Araştırmaya Yönelik Öncü Katkısı nedeniyle Leroy P. Steele Ödülü ile ödüllendirildi. Ennio De Giorgi ve Nash, ayrı yöntemlerle, eliptik ve parabolik kısmi diferansiyel denklemlerin sistematik bir anlayışının yolunu açan bir dizi sonuç buldu. Bu denklemlerin çözümlerinin pürüzsüzlüğüne ilişkin De Giorgi-Nash teoremi, yaklaşık altmış yıldır bilinen ve açık bir problem olan varyasyon hesabındaki Hilbert'in on dokuzuncu problemini çözdü.
1959'da Nash, zihinsel hastalık belirtileri göstermeye başladı ve şizofreni tedavisi için birkaç yıl boyunca psikiyatri hastanelerinde tedavi gördü. 1970'lerden sonra durumu yavaş yavaş iyileşti ve 1980'lerin ortalarına doğru akademik çalışmalara geri dönmesine olanak sağladı.
Nash'in hayatı Sylvia Nasar'ın 1998 tarihli biyografik kitabı "Güzel Zihin"de konu alınmış ve hastalığıyla mücadelesi ve iyileşmesi, aynı adı taşıyan ve yönetmenliğini Ron Howard'ın yaptığı ve Nash'i Russell Crowe'un canlandırdığı bir filme temel olmuştur.
Erken yaşam ve eğitim
John Forbes Nash Jr., 13 Haziran 1928'de Bluefield, Batı Virginia'da doğdu. Babası ve aynı isimli kişi John Forbes Nash Sr., Appalachian Electric Power Company'de elektrik mühendisiydi. Annesi Margaret Virginia (kızlık soyadı Martin) Nash, evlenmeden önce öğretmendi. İngiltere Kilisesi'nde vaftiz edildi. Daha küçük bir kız kardeşi, Martha (16 Kasım 1930 doğumlu) vardı.
Nash, anaokulu ve devlet okulunda okudu ve ebeveynleri ve büyükanne büyükbabası tarafından sağlanan kitaplardan öğrendi. Nash'in ebeveynleri, oğlu'nun eğitimini desteklemek için fırsatlar araştırdılar ve lise son yılında yakınlardaki Bluefield College'da (şimdiki adıyla Bluefield University) ileri matematik dersleri alması için düzenleme yaptılar. Başlangıçta kimya mühendisliği alanında okuyan Nash, Carnegie Institute of Technology'de (daha sonra Carnegie Mellon Üniversitesi oldu) tam burslu bir George Westinghouse bursu ile okudu. Öğretmeni John Lighton Synge'nin tavsiyesi üzerine kimya bölümünden matematiğe geçti. 1948'de hem lisans hem de yüksek lisans derecesini alarak mezun olduktan sonra, Princeton Üniversitesi'nde matematikte ve bilimlerde ileri çalışmalar yapmak üzere bir burs kabul etti.
Nash'in danışmanı ve eski Carnegie profesörü Richard Duffin, Nash'in Princeton'a giriş için bir tavsiye mektubu yazdı: "O bir matematik dahisidir." Nash, Harvard Üniversitesi'ne de kabul edildi. Ancak Princeton Üniversitesi matematik bölümünün başkanı Solomon Lefschetz, Nash'i Princeton'ı daha çok tercih etmesi için John S. Kennedy bursu teklif etti. Ayrıca, Bluefield'deki ailesine yakınlığı nedeniyle Princeton'ı daha olumlu buldu. Princeton'da daha sonra Nash dengesi olarak bilinen denge teorisi üzerinde çalışmaya başladı.
Araştırma katkıları
Nash, birçok makalesi kendi alanlarında dönüm noktası olarak kabul edilse de, kapsamlı yayın yapmadı. Princeton'da yüksek lisans öğrencisi olarak oyun teorisi ve reel cebirsel geometriye temel katkılarda bulundu. MIT'de doktora sonrası araştırmacı olarak diferansiyel geometriye yöneldi. Nash'in diferansiyel geometri hakkındaki çalışmalarının sonuçları geometrik bir dille ifade edilse de, çalışma neredeyse tamamen kısmi diferansiyel denklemlerin matematiksel analiziyle ilgiliydi. İki izometrik gömülme teoremini kanıtladıktan sonra Nash, kısmi diferansiyel denklemlerle doğrudan ilgilenen araştırmalara yöneldi ve De Giorgi-Nash teoremini keşfetti ve ispatladı ve böylece Hilbert'in on dokuzuncu probleminin bir şeklini çözdü.
2011 yılında, Ulusal Güvenlik Ajansı, Nash'in 1950'lerde yazdığı ve yeni bir şifreleme-şifre çözme makinesi önerdiği mektupları gizlilikten çıkardı. Mektuplar, Nash'in modern kriptografinin, hesaplamalı zorluğa dayalı olan birçok kavramını önceden gördüğünü gösteriyor.
Oyun teorisi
1950'de Nash, işbirlikçi olmayan oyunlar hakkında 28 sayfalık bir tez ile matematik doktora derecesini aldı. Doktora danışmanı Albert W. Tucker'ın gözetiminde yazılan tez, işbirlikçi olmayan oyunlarda çok önemli bir kavram olan Nash dengesinin tanımını ve özelliklerini içeriyordu. Tezinin bir versiyonu bir yıl sonra Annals of Mathematics'te yayınlandı. 1950'lerin başında Nash, oyun teorisiyle ilgili birçok ilgili kavram üzerinde, işbirlikçi oyun teorisi dahil olmak üzere araştırma yaptı. Çalışması için Nash, 1994'te Nobel Belleği Ekonomi Ödülü'nün alıcılardan biriydi.
Reel cebirsel geometri
1949'da, hala yüksek lisans öğrencisi iken, Nash matematik alanında reel cebirsel geometri alanında yeni bir sonuç buldu. Teoremini 1950'de Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde bir katkıda bulunan makalede duyurdu, ancak kanıtının ayrıntılarını henüz çalışmamıştı. Nash'in teoremi, Nash'in çalışmalarını Annals of Mathematics'e sunduğu Ekim 1951'de tamamlandı. 1930'lardan beri her kapalı düzgün manifoldun, öklid uzayındaki bir dizi düzgün fonksiyonun sıfır kümesine diffeomorfik olduğu biliniyordu. Nash'in çalışmasında, bu düzgün fonksiyonların polinomlar olarak alınabileceğini kanıtladı. Bu, genellikle düzgün fonksiyonlar ve düzgün manifoldların sınıfının polinomlar sınıfından çok daha esnek olduğu düşünüldüğü için şaşırtıcı bir sonuç olarak kabul edildi. Nash'in kanıtı, o zamandan beri reel cebirsel geometride geniş çapta incelenen Nash fonksiyonu ve Nash manifold kavramlarını tanıttı. Nash'in teoremi, Nash'in polinom yaklaşımıyla Bézout teoremi birleştirilerek, Michael Artin ve Barry Mazur tarafından dinamik sistemlerin çalışmasında ünlü bir şekilde uygulandı.
Diferansiyel geometri
MIT'deki doktora sonrası görev süresi boyunca, Nash, üzerinde çalışmak için yüksek profilli matematik problemleri aramaktaydı. Diferansiyel geometride uzmanlaşmış Warren Ambrose'dan, herhangi bir Riemannian manifoldun Öklid uzayının bir alt manifolduna izometrik olarak gömülebileceği şeklindeki varsayım hakkında bilgi edinmişti. Nash'in bu varsayımı doğrulayan sonuçları, şimdi Nash gömülme teoremleri olarak biliniyor, ikincisi Mikhael Gromov tarafından "yirminci yüzyıl matematiğinin en önemli başarılarından biri" olarak adlandırılmıştır.
Nash'in ilk gömülme teoremi 1953'te bulundu. Herhangi bir Riemannian manifoldun sürekli türevlenebilir bir dönüşümle Öklid uzayına izometrik olarak gömülebileceğini buldu. Nash'in yapısı, gömme boyutunun çok küçük olmasına olanak tanıyor, ki bu da çoğu durumda, yüksek türevlenebilir bir izometrik gömme olasılığının mantıksal olarak imkansız hale geldiği anlamına geliyor. (Nash'in tekniklerine dayanarak, Nicolaas Kuiper kısa sürede daha küçük boyutlar buldu, gelişmiş sonuç genellikle Nash-Kuiper teoremi olarak biliniyor). Bu nedenle, Nash'in gömmeleri düşük türevlenebilirlik durumuna sınırlıdır. Bu nedenle, Nash'in sonucu, diferansiyel geometri alanında, yüksek türevlenebilirliğin genellikle kullanılan analizinde önemli olduğu yerlerde ana akım dışındadır.
Ancak, Nash'in çalışmasının mantığı, matematiksel analizdeki birçok diğer bağlamda faydalı bulunmuştur. Camillo De Lellis ve László Székelyhidi'nin çalışmalarından başlayarak, Nash'in kanıtının fikirleri, akışkan mekaniğinde Euler denklemlerinin türbülanslı çözümlerinin çeşitli yapıları için uygulanmıştır. 1970'lerde Mikhael Gromov, Nash'in fikirlerini genel bir dışbükey entegrasyon çerçevesi haline getirdi, bu da (diğer kullanımlar arasında) Stefan Müller ve Vladimír Šverák tarafından varyasyon hesabındaki Hilbert'in on dokuzuncu probleminin genelleştirilmiş şekillerine karşıt örnekler oluşturmak için kullanıldı.
Nash, düzgün türevlenebilir izometrik gömmelerin yapımının beklenmedik derecede zor olduğunu keşfetti. Ancak, yaklaşık bir buçuk yıllık yoğun çalışma sonunda çabaları sonuç verdi ve böylece ikinci Nash gömülme teoremini kanıtladı. Bu ikinci teoremi kanıtlamada kullanılan fikirler, birincisini kanıtlamada kullanılanlardan büyük ölçüde farklıdır. Kanıtın temel yönü, izometrik gömmelere yönelik örtük fonksiyon teoremidir. Genel örtük fonksiyon teoreminin formülasyonları, düzenlilik kaybı olaylarıyla ilgili teknik nedenlerden dolayı uygulanamaz. Nash'in bu sorunun çözümünde, bir izometrik gömmenin, ekstra düzenliliğin sürekli olarak enjekte edildiği bir adi diferansiyel denklem boyunca deforme edilmesiyle, matematiksel analizde temel olarak yeni bir teknik olarak kabul ediliyor. Nash'in makalesi, 1999'da Öncü Araştırma Katkısı için Leroy P. Steele Ödülü'ne layık görüldü, burada düzensizlik kaybı sorununa çözümündeki "en orijinal fikri", "bu yüzyılın matematiksel analizindeki büyük başarılarından biri" olarak kabul edildi. Gromov'a göre:
Analizde acemi veya Nash gibi bir dahi olmanız gerekir, böyle bir şeyin doğru olabileceğine ve/veya tek bir önemsiz uygulamaya sahip olabileceğine inanmak için.
Jürgen Moser'in Nash'in fikirlerinin diğer sorunlara (özellikle gök mekaniğinde) uygulanması için genişletilmesinden dolayı, ortaya çıkan örtük fonksiyon teoremi, Nash-Moser teoremi olarak bilinir. Gromov, Richard Hamilton, Lars Hörmander, Jacob Schwartz ve Eduard Zehnder de dahil olmak üzere birçok başka yazar tarafından genişletildi ve genelleştirildi. Nash, analitik fonksiyonlar bağlamında sorunu kendi kendine analiz etti. Schwartz daha sonra Nash'in fikirlerinin "yalnızca yeni değil, aynı zamanda çok gizemli" olduğunu ve bunun "temelinden kavramanın" çok zor olduğunu belirtti. Gromov'a göre:
Nash, klasik matematiksel problemleri, zor problemleri çözdü, başka hiç kimsenin yapamadığı, hatta nasıl yapılacağını hayal edemediği bir şey. ... Nash'in izometrik gömmelerin yapımında keşfettiği şey "klasik"ten uzak - analiz ve diferansiyel geometrinin temel mantığı anlayışımızı dramatik bir şekilde değiştiren bir şey. Klasik bakış açısından bakıldığında, Nash'in makalelerinde elde ettiği şey, hayatının hikayesi kadar imkansızdır ... [Y] izometrik dalgalanmalar hakkındaki çalışmaları ... hala keşfedilmeyi bekleyen gözlerimizin önünde uzanan yeni bir matematik dünyasını açtı.