Bugün öğrendim ki: Kuantum teorisinin babası Max Planck, kuantum hipotezini, Einstein hipotezini gerçekçi bir şekilde yorumlayıp fiziksel olayları açıklamak için kullanana kadar, önemli bir keşiften ziyade doğru cevabı elde etmek için kullanılan matematiksel bir hile olarak görüyordu.

---

Atomik ve alt-atomik ölçekteki fiziksel özelliklerin açıklaması

Bu konu hakkında daha erişilebilir ve teknik olmayan bir giriş için, kuantum mekaniği girişine bakın.

Kuantum mekaniği, doğanın atom ölçeği ve altında ve altında davranışını tanımlayan temel bir kuramdır.[2]: 1.1 Kuantum kimya, kuantum alan teorisi, kuantum teknolojisi ve kuantum bilgi bilimi de dahil olmak üzere tüm kuantum fiziğinin temelidir.

Kuantum mekaniği, klasik fiziğin açıklayamadığı birçok sistemi tanımlayabilir. Klasik fizik, doğanın sıradan (makroskobik ve (optik) mikroskobik) ölçeğinde birçok yönünü açıklayabilir, ancak onları çok küçük alt mikroskobik (atomik ve alt-atomik) ölçeklerde açıklamada yeterli değildir. Klasik fiziğin çoğu teorisi, büyük (makroskobik/mikroskobik) ölçekte geçerli bir yaklaşım olarak kuantum mekaniğinden türetilebilir.[3]

Kuantum sistemleri, enerji, momentum, açısal momentum ve diğer niceliklerin ayrık değerlerine nicelenen bağlı durumlar içerir; klasik sistemlerde ise bu nicelikler sürekli ölçülebilir. Kuantum sistemlerinin ölçümleri, hem parçacık hem de dalga özelliklerini (dalga-parçacık ikiliği) gösterir ve başlangıç koşullarının tam bir kümesi verildiğinde, bir fiziksel niceliğin değerinin ne kadar doğru bir şekilde tahmin edilebileceği konusunda sınırlamalar vardır (belirsizlik ilkesi).

Kuantum mekaniği, klasik fizikle bağdaştırılamayan gözlemleri açıklamak için kademeli olarak ortaya çıkmış teorilerden kaynaklanmıştır, örneğin Max Planck'ın 1900'de kara cisim radyasyonu probleminin çözümü ve Albert Einstein'ın 1905 tarihli makalesinde enerji ile frekans arasındaki ilişki, fotoelektrik etkiyi açıkladı. Artık "eski kuantum teorisi" olarak bilinen bu erken mikroskobik olayları anlama girişimleri, Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Paul Dirac ve diğerleri tarafından 1920'lerin ortalarında kuantum mekaniğinin tam gelişimine yol açtı. Modern teori, çeşitli özel olarak geliştirilmiş matematiksel formalizmlerde formüle edilmiştir. Bunlardan birinde, dalga fonksiyonu adı verilen matematiksel bir varlık, bir parçacığın enerjisi, momentumu ve diğer fiziksel özellikleri hakkındaki ölçümlerin ne verebileceği hakkında olasılık genlikleri biçiminde bilgi sağlar.

Genel Bakış ve Temel Kavramlar

Kuantum mekaniği, fiziksel sistemlerin özelliklerinin ve davranışlarının hesaplanmasına olanak tanır. Tipik olarak mikroskobik sistemlere uygulanır: moleküller, atomlar ve alt-atomik parçacıklar. Binlerce atomlu karmaşık moleküller için geçerli olduğu gösterilmiştir,[4] ancak insanlara uygulanması Wigner'ın arkadaşı gibi felsefi sorunlar ortaya çıkarır ve evrene uygulanması spekülasyondur.[5] Kuantum mekaniğinin tahminleri deneysel olarak son derece yüksek hassasiyetle doğrulanmıştır. Örneğin, ışık ve madde etkileşimi için kuantum mekaniğinin rafine edilmiş şekli olan kuantum elektrodinamiği (QED), bir elektronun manyetik özelliklerini tahmin ederken deneyle 1012'nin bir parçası içinde uyumluluk göstermiştir.[6]

Teorinin temel özelliklerinden biri, genellikle ne olacağını kesin olarak tahmin edememesidir, ancak yalnızca olasılıklar verebilir. Matematiksel olarak, bir olasılık, olasılık genliği olarak bilinen bir karmaşık sayının mutlak değerinin karesini alarak bulunur. Bu, fizikçi Max Born'un adını taşıyan Born kuralı olarak bilinir. Örneğin, bir elektron gibi bir kuantum parçacığı, uzayda her noktaya bir olasılık genliği ilişkilendiren bir dalga fonksiyonu ile tanımlanabilir. Born kuralı bu genliklere uygulanarak, bir deney yapıldığında elektronun bulunacağı konum için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir. Bu, teorinin yapabileceği en iyisidir; elektronun kesin olarak nerede bulunacağını söyleyemez. Schrödinger denklemi, bir zaman anına ait olasılık genliklerinin koleksiyonunu bir başka zaman anına ait olasılık genlikleri koleksiyonuna ilişkilendirir.[7]: 67-87

Kuantum mekaniğinin matematiksel kurallarından bir sonuç, ölçülebilir nicelikler arasında tahmin edilebilirlik açısından bir ödünleşmedir. Bu belirsizlik ilkesinin en ünlü formu, bir kuantum parçacığı ne şekilde hazırlanırsa hazırlanılsın, veya onun üzerindeki deneyler ne kadar özenle düzenlenirse düzenlensin, konumunun ve aynı anda momentumunun ölçümü için kesin bir tahminde bulunmanın imkansız olduğunu söyler.[7]: 427-435

Kuantum mekaniğinin matematiksel kurallarından başka bir sonuç, genellikle çift yarık deneyiyle gösterilen kuantum girişim fenomenidir. Bu deneyin temel versiyonunda, lazer ışını gibi tutarlı bir ışık kaynağı, iki paralel yarıkla delinmiş bir plakayı aydınlatır ve yarıklar yoluyla geçen ışık, plakanın arkasındaki bir ekranda gözlenir.[8]: 102-111 [2]: 1.1-1.8 Işığın dalga doğası, iki yarık yoluyla geçen ışık dalgalarının girişim yapmasına ve ekranda açık ve koyu bantlar oluşturmasına neden olur - bu sonuç, ışığın klasik parçacıklardan oluştuğu durumda beklenmez bir sonuçtur.[8] Ancak, ışık her zaman ekranda, dalgalar yerine ayrı parçacıklar halinde, ayrı noktalarda emilir; girişim deseni, ekrandaki bu parçacık vuruşlarının değişen yoğunluğu ile ortaya çıkar. Ayrıca, yarıklar üzerinde dedektörler içeren deney versiyonları, her algılanan fotonun (klasik bir parçacık gibi) bir yarıktan geçtiğini, ancak iki yarıktan (dalga gibi) geçmediğini bulur.[8]: 109 [9][10] Ancak, böyle deneyler, parçacıkların, geçtikleri yarığı belirlediğimiz takdirde girişim deseni oluşturmadığını gösterir. Bu davranışa dalga-parçacık ikiliği denir. Işığın yanı sıra, elektronlar, atomlar ve moleküller de çift yarık üzerine ateşlendiğinde aynı ikili davranışı gösterirler.[2]

Kuantum mekaniği tarafından öngörülen başka bir klasik olmayan fenomen, kuantum tünemecidir: kinetik enerjisi potansiyelin maksimumundan küçük olsa bile, bir potansiyel bariyerine karşı çıkan bir parçacık onu geçebilir.[11] Klasik mekanikte bu parçacık hapis olur. Kuantum tünemeciliği, radyoaktif bozunmayı, yıldızlardaki nükleer füzyonu ve taramalı tünemecilik mikroskobu, tünel diyodu ve tünel alan etkili transistör gibi uygulamaları mümkün kılar.[12][13]

Kuantum sistemleri etkileştiğinde, sonuç kuantum dolanıklığı olabilir: özellikleri birbirleriyle o kadar iç içe geçer ki, bütünü yalnızca bireysel parçalar açısından tanımlamak artık mümkün değildir. Erwin Schrödinger, dolanıklığı "...kuantum mekaniğinin ayırt edici özelliği, klasik düşünce çizgilerinden tamamen sapmasını zorunlu kılan şey" olarak adlandırdı.[14] Kuantum dolanıklığı, kuantum bilgisayarları mümkün kılar ve kuantum anahtar dağıtımı ve süper yoğun kodlama gibi kuantum iletişim protokollerinin bir parçasıdır.[15] Popüler yanlış anlamanın aksine, dolanıklık, iletişimin ışıktan daha hızlı gönderilmesine izin vermez, çünkü bu, iletişim teoremiyle gösterilir.[15]

Dolanıklık tarafından açılan başka bir olasılık, kuantum teorisinde ele alınan niceliklerden daha temel olan varsayımsal "gizli değişkenler" için test etmedir; bunların bilgisi, kuantum teorisinin sağladığından daha kesin tahminler yapmaya izin verecektir. En önemlisi Bell teoremi olmak üzere, bu tür gizli değişken teorilerinin geniş sınıflarının aslında kuantum fiziği ile uyumsuz olduğu gösterilmiştir. Bell teoremine göre, doğa aslında yerel gizli değişkenlerin herhangi bir teorisiyle çalışıyorsa, o zaman Bell testinin sonuçları belirli ve nicel bir şekilde kısıtlanacaktır. Birçok Bell testi yapılmış ve yerel gizli değişkenler tarafından getirilen kısıtlarla uyumsuz sonuçlar göstermiştir.[16][17]

İlgili matematiği tanımadan bu kavramları yüzeyselden fazla sunmak mümkün değildir; kuantum mekaniğini anlamak sadece karmaşık sayıları değil, aynı zamanda lineer cebir, diferansiyel denklemler, grup teorisi ve diğer daha ileri konuları da gerektirir.[18][19] Bu nedenle, bu makale kuantum mekaniğinin matematiksel bir formülasyonunu sunacak ve bazı faydalı ve sık incelenen örneklerdeki uygulamalarını gözden geçirecektir.

Matematiksel Formülasyon

Kuantum mekaniğinin matematiksel olarak kesin formülasyonunda, bir kuantum mekanik sistemin durumu, (ayrık) karmaşık bir Hilbert uzayı H'ye ait ψ vektörüdür.[displaystyle \psi]. Bu vektör Hilbert uzayı iç çarpımı altında normalize edilmek üzere varsayılır, yani ⟨ψ, ψ⟩ = 1'i karşılar[displaystyle \langle \psi,\psi\rangle =1], ve mutlak değeri 1 olan bir karmaşık sayıya göre iyi tanımlanmıştır (küresel faz), yani ψ ve e^iαψ aynı fiziksel sistemi temsil eder.[displaystyle e^{i\alpha}\psi]. Başka bir deyişle, olası durumlar, genellikle karmaşık projektif uzay olarak adlandırılan bir Hilbert uzayının projektif uzayındaki noktalardır. Bu Hilbert uzayının tam doğası sisteme bağlıdır - örneğin, konumu ve momentumu tanımlamak için Hilbert uzayı karmaşık kare-entegre fonksiyonlar uzayı L²(C) 'dir.[displaystyle L^{2}(\mathbb {C})], tek bir protonun spinine ilişkin Hilbert uzayı ise, alışılmış iç çarpımı olan iki boyutlu karmaşık vektörler uzayı C²'dir.[displaystyle \mathbb{C}^{2}]

Konum, momentum, enerji, spin gibi ilginç fiziksel nicelikler, Hilbert uzayında etkiyen özdeğerler (daha kesin olarak, öz-değerli) lineer operatörlerle temsil edilir. Bir kuantum durumu bir gözlemcinin özvektörü olabilir, bu durumda öz durum olarak adlandırılır ve ilişkili özdeğer, bu öz durumda gözlemcinin değerine karşılık gelir. Daha genel olarak, bir kuantum durumu öz durumların lineer bir kombinasyonu olacaktır, bu da kuantum üst üste bindirme olarak bilinir. Bir gözlemci ölçüldüğünde, sonucu olasılık kuralı ile verilen özdeğerlerden biri olacaktır: en basit durumda özdeğer λ dejenere değilse, olasılık |⟨λ→, ψ⟩|² ile verilir,[displaystyle |\langle{\vec{\lambda}},\psi\rangle|^{2}], burada λ→ ilişkili özvektördür.[displaystyle {\vec{\lambda}}]. Daha genel olarak, özdeğer dejenere ve olasılık ⟨ψ, Pλψ⟩ ile verilir.[displaystyle \langle\psi,P_{\lambda}\psi\rangle], burada Pλ ilişkili özdeğer uzayına izdüşümdür.[displaystyle P_{\lambda}]. Sürekli durumda, bu formüller bunun yerine olasılık yoğunluğunu verir.

Ölçümden sonra, eğer λ sonucu elde edildiyse, kuantum durumu λ→'ye çökmek üzere varsayılır, dejenere olmayan durumda veya Pλψ/⟨ψ, Pλψ⟩'ye, genel durumda.[displaystyle P_{\lambda}\psi{\big/}\!{\sqrt {\langle\psi,P_{\lambda}\psi\rangle}}]. Böylece, kuantum mekaniğinin olasılıklı doğası, ölçüm eylemiyle kaynaklanır. Bu, kuantum sistemlerinin anlaşılmasının en zor yönlerinden biridir. İki bilim insanının bu temel prensipleri düşünce deneyleri yoluyla netleştirmeye çalıştığı ünlü Bohr-Einstein tartışmalarının merkezi konusu oldu. Kuantum mekaniğinin formüle edilmesinden sonraki on yıllarda, "ölçüm" kavramının ne olduğunu araştıran çok sayıda çalışma yapıldı. Daha yeni kuantum mekaniği yorumları, "dalga fonksiyonu çöküşü" kavramını ortadan kaldıran formüller formüle etti (örneğin, çok evren yorumuna bakın). Temel fikir, bir kuantum sisteminin bir ölçüm cihazıyla etkileşime girdiğinde, karşılıklı dalga fonksiyonlarının dolanık hale gelmesidir, böylece orijinal kuantum sistemi bağımsız bir varlık olarak var olmaktan çıkar (kuantum mekaniğinde ölçüm'e bakın)[20].

Bir Kuantum Durumunun Zaman Evrimi

Bir kuantum durumunun zaman evrimi, Schrödinger denklemiyle tanımlanır:

iħ ∂/∂t ψ(t) = Hψ(t).[displaystyle i\hbar{\frac{\partial}{\partial t}}\psi(t)=H\psi(t)]

Burada H sistemin toplam enerjisine karşılık gelen gözlemciyi, Hamiltonian ve ħ azaltılmış Planck sabitini temsil eder.[displaystyle H]. Sabit iħ Hamiltonian'ın, kuantum sistemi bir klasik sistemle yaklaşık olarak ifade edilebilen durumlarda klasik Hamiltonian'a indirgenmesi için tanıtılmıştır; belirli limitlerde böyle bir yaklaşım yapma yeteneği yazışım ilkesi olarak adlandırılır.

Bu diferansiyel denklemin çözümü şöyledir:

ψ(t) = e^-iHt/ħψ(0).[displaystyle \psi(t)=e^{-iHt/\hbar}\psi(0)]

Operatör U(t) = e^-iHt/ħ zaman evrimi operatörü olarak bilinir ve birimsel olma özelliğine sahiptir. Bu zaman evrimi, - verilen bir başlangıç kuantum durumu ψ(0) - herhangi bir daha sonraki zamanda kuantum durumunun ψ(t) olacağı konusunda kesin bir tahmin yapma anlamında belirleyicidir[21].

Bazı dalga fonksiyonları, Hamiltonian'ın öz durumları gibi zamandan bağımsız olasılık dağılımları üretir.[7]: 133-137 Klasik mekanikte dinamik olarak ele alınan birçok sistem, bu tür "statik" dalga fonksiyonları ile tanımlanır. Örneğin, uyarılmamış bir atomdaki tek bir elektron, klasik olarak atom çekirdeği etrafında dairesel bir yörüngede hareket eden bir parçacık olarak resmedilir, oysa kuantum mekaniğinde çekirdeği çevreleyen statik bir dalga fonksiyonu ile tanımlanır. Örneğin, uyarılmamış bir hidrojen atomu için elektron dalga fonksiyonu, s orbitalleriyle bilinen küresel simetrik bir fonksiyondur (Şekil 1).

Schrödinger denkleminin analitik çözümleri, kuantum harmonik osilatör, kutu içindeki parçacık, dihidrojen katyonu ve hidrojen atomu dahil olmak üzere çok az sayıda nispeten basit model Hamiltonian için bilinmektedir. İki elektrondan oluşan helyum atomu bile, tam analitik bir tedaviye meydan okumakta ve kapalı formda bir çözüme sahip değildir.[22][23][24]

Ancak yaklaşık çözümler bulmak için teknikler mevcuttur. Bozturma teorisi adı verilen bir yöntem, basit bir kuantum mekanik modelinin analitik sonucunu, (örneğin) zayıf bir potansiyel enerjinin eklenmesiyle ilişkili ancak daha karmaşık bir model için bir sonuç oluşturmak için kullanır.[7]: 793 Başka bir yaklaşım yöntemi, kuantum mekaniğinin klasik davranıştan yalnızca küçük sapmalar ürettiği sistemler için geçerlidir. Bu sapmalar daha sonra klasik hareket temelinde hesaplanabilir.[7]: 849

Belirsizlik İlkesi

Temel kuantum biçimciliğinin bir sonucu belirsizlik ilkesidir. En yaygın biçiminde, bu, bir kuantum parçacığı hazırlığının, aynı anda konumunun ve momentumunun ölçümü için kesin tahminleri aynı anda içermediğini ifade eder.[25][26]. Hem konum hem de momentum gözlemcilerdir, yani bunlar Hilbert uzayında etkiyen hermityen operatörler tarafından temsil edilir. Konum operatörü X^ ve momentum operatörü P^ değiş tokuş etmez, ancak kanonik değiş tokuş ilişkisini sağlar:

[X^, P^] = iħ[displaystyle [{\hat{X}},{\hat{P}}]=i\hbar]

Verilen bir kuantum durumu için, Born kuralı hem X hem de P'nin beklenen değerlerini, ve daha da fazlasını, güçlerinin hesaplanmasını sağlar. Bir gözlemcinin belirsizliğini standart sapma ile tanımlayarak,

σ_X = ⟨X²⟩ − ⟨X⟩²[displaystyle \sigma_{X}={\textstyle {\sqrt{\left\langle X^{2}\right\rangle-\left\langle X\right\rangle^{2}}}}]

ve benzer şekilde momentum için:

σ_P = ⟨P²⟩ − ⟨P⟩²[displaystyle \sigma_{P}=\sqrt{\left\langle P^{2}\right\rangle-\left\langle P\right\rangle^{2}}].

Belirsizlik ilkesi şu şekilde ifade edilir:

σ_X σ_P ≥ ħ/2.[displaystyle \sigma_{X}\sigma_{P}\geq{\frac{\hbar}{2}}]

Herhangi bir standart sapma ilkesi ilke olarak keyfi olarak küçültülebilir, ancak ikisi aynı anda.[27]. Bu eşitsizlik keyfi özdeğerli operatör çiftleri A ve B için genelleştirilir.[displaystyle A,B]. Bu iki operatörün değiş tokuşu

[A, B] = AB − BA [displaystyle [A,B]=AB-BA]

ve bu, standart sapmaların çarpımı için alt sınırı sağlar:

σ_A σ_B ≥ 1/2 |⟨[A, B]⟩|[displaystyle \sigma_{A}\sigma_{B}\geq{\tfrac{1}{2}}\left|{\bigl \langle}[A,B]{\bigr \rangle}\right|]

Kanonik değiş tokuş ilişkisinin başka bir sonucu, konum ve momentum operatörlerinin birbirlerinin Fourier dönüşümleri olmasıdır, böylece bir nesnenin momentumuna göre bir tanım, konumuna göre tanımının Fourier dönüşümüdür. Momentumdaki bağımlılığın konumdaki bağımlılığın Fourier dönüşümü olması, momentum operatörünün (i/ħ faktörü dahil olmak üzere) konuma göre türev almayla eşdeğer olmasıdır, çünkü Fourier analizinde türev, ikili uzayda çarpımla eşdeğerdir. Bu nedenle, konum uzayındaki kuantum denklemlerinde, momentum p_i −iħ ∂/∂x ile değiştirilir[displaystyle -i\hbar{\frac{\partial}{\partial x}}], ve özellikle konum uzayında göreli olmayan Schrödinger denkleminde, momentum kare terimi −ħ² ile çarpılmış Laplacian ile değiştirilir.[displaystyle -\hbar^{2}][25].

Bileşik Sistemler ve Dolanıklık

Birbirinden farklı iki kuantum sisteminin birlikte düşünülmesi durumunda, birleşik sistemin Hilbert uzayı, iki bileşenin Hilbert uzaylarının tensör çarpımıdır. Örneğin, A ve B iki kuantum sistemi olsun, sırasıyla Hilbert uzayları H_A ve H_B'ye sahip olsunlar. Bileşik sistemin Hilbert uzayı daha sonra

H_AB = H_A ⊗ H_B [displaystyle {\mathcal{H}}_{AB}={\mathcal{H}}_{A}\otimes{\mathcal{H}}_{B}]

olur. İlk sistemin durumu vektör ψ_A ve ikinci sistemin durumu vektör ψ_B ise, bileşik sistemin durumu

ψ_A ⊗ ψ_B[displaystyle \psi_{A}\otimes\psi_{B}]

olarak ifade edilir. Bununla birlikte, ortak Hilbert uzayı H_AB'deki tüm durumlar bu biçimde yazılamamaktadır, çünkü üst üste bindirme ilkesi, bu "ayrık" veya "çarpım durumlarının" lineer kombinasyonlarının da geçerli olduğunu ifade eder. Örneğin, ψ_A ve φ_A sistem A için olası iki durum ise, ve benzer şekilde ψ_B ve φ_B sistem B için olası iki durum ise,

1/√2 (ψ_A ⊗ ψ_B + φ_A ⊗ φ_B)[displaystyle {\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\left(\psi_{A}\otimes\psi_{B}+\phi_{A}\otimes\phi_{B}\right)]

ayrık olmayan geçerli bir ortak durumdur. Ayrık olmayan durumlar dolanık durumlar olarak adlandırılır.[28][29]

Birleşik bir sistemin durumu dolanık ise, sistem A veya B'nin durumunu bir durum vektörü ile tanımlamak imkansızdır. Bunun yerine, her bir bileşen sisteminin tek başına ölçüm yapılmasıyla elde edilebilen istatistikleri tanımlayan indirgenmiş yoğunluk matrislerini tanımlayabiliriz. Ancak bu, kaçınılmaz olarak bilgi kaybına neden olur: bireysel sistemlerin indirgenmiş yoğunluk matrislerini bilmek bileşik sistemin durumunu yeniden oluşturmak için yeterli değildir.[28][29]. Yoğunluk matrisleri büyük bir sistemin alt sisteminin durumunu belirlediği gibi, benzer şekilde pozitif operatör değerli ölçümler (POVM'ler), büyük bir sistem üzerinde yapılan bir ölçümün alt sistem üzerindeki etkisini tanımlar. POVM'ler kuantum bilgi teorisinde yaygın olarak kullanılır.[28][30]

Yukarıda açıklandığı gibi, dolanıklık, bir cihazın ölçülen sistemle dolanık hale geldiği ölçüm süreçlerinin modelleri için temel bir özelliktir. Sistemler, yaşadıkları çevreyle etkileşime girerek genellikle bu çevreyle dolanık hale gelirler; bu olaya kuantum tutarsızlığı denir. Bu, mikroskobikten büyük sistemlerde kuantum etkilerini uygulamada gözlemlemenin neden zor olduğunu açıklayabilir.[31]

Formülasyonlar Arasındaki Eşdeğerlik

Kuantum mekaniğinin birçok matematiksel eşdeğer formülasyonu vardır. En eski ve en yaygın olanlardan biri, Paul Dirac tarafından önerilen "dönüşüm teorisi"dir, kuantum mekaniğinin ilk iki formülasyonunu - Werner Heisenberg tarafından icat edilen matris mekaniği ve Erwin Schrödinger tarafından icat edilen dalga mekaniği - birleştirir ve genelleştirir.[32]. Kuantum mekaniğinin alternatif bir formülasyonu, başlangıç ve son durumlar arasında tüm olası klasik ve klasik olmayan yollardan toplanan kuantum mekanik bir genliğin ele alındığı Feynman'ın yol integral formülasyonudur. Bu, klasik mekanikteki eylem ilkesinin kuantum mekanik karşılığıdır.[33]

Simetriler ve Korunum Yasaları

Ana madde: Noether teoremi

Hamiltonian H zaman evriminin üretecisi olarak bilinir, çünkü her t değeri için birimsel bir zaman evrimi operatörü U(t) = e^-iHt/ħ tanımlar.[displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar}] Bu ilişki U(t) ve H arasında, H ile değiş tokuş eden herhangi bir gözlemcinin A korunacağı anlamına gelir: beklenen değeri zaman içinde değişmeyecektir.[7]: 471 Bu ifade, matematiksel olarak, herhangi bir özdeğerli operatör A'nın t değişkeni cinsinden parametrize edilen bir birimsel operatör ailesini üretebileceği anlamında geneldir. A tarafından üretilen evrim altında, A ile değiş tokuş eden herhangi bir gözlemci B korunacaktır. Ayrıca, B, A tarafından üretilen evrim altında korunuyorsa, A, B tarafından üretilen evrim altında korunacaktır. Bu, klasik (Lagrangian) mekaniğin Emmy Noether tarafından kanıtlanan kuantum sürümünü ima eder: bir Hamiltonian'ın her sürekli simetrisi için karşılık gelen bir korunum yasası vardır.

Örnekler

Serbest Parçacık

Ana madde: Serbest parçacık

Pozisyon özgürlüğüne sahip en basit kuantum sistemi örneği, tek boyutlu uzayda serbest bir parçacıktır. Serbest parçacık, Hamiltonian'ı yalnızca kinetik enerjisinden oluşan dış etkilere maruz kalmayan parçacıktır:

H = 1/2m P² = −ħ²/2m d²/dx²[displaystyle H={\frac{1}{2m}}P^{2}=-{\frac{\hbar^{2}}{2m}}{\frac{d^{2}}{dx^{2}}}}

Schrödinger denkleminin genel çözümü şöyledir:

ψ(x, t) = 1/√(2π) ∫_-∞^∞ ψ^(k, 0) e^{i(kx−ħk2/2mt)} dk [displaystyle \psi(x,t)={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{\psi}}(k,0)e^{i(kx-{\frac{\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm{d}k]

momentum operatörünün momentumu p = ħk olan tüm olası düz dalgaların e^{i(kx−ħk2/2mt)} üst üste bindirmesidir [displaystyle e^{i(kx-{\frac{\hbar k^{2}}{2m}}t)}]. Üst üste bindirmenin katsayıları ψ^(k, 0)'dır [displaystyle {\hat{\psi}}(k,0)], bu da başlangıç kuantum durumu ψ(x, 0)'ın Fourier dönüşümüdür [displaystyle \psi(x,0)] .

Çözümün tek bir momentum özdeğeri veya tek bir konum özdeğeri olması mümkün değildir, çünkü bunlar normalleştirilebilir kuantum durumları değildir.[not 1] Bunun yerine, bir Gauss dalga paketi göz önüne alınabilir:

ψ(x, 0) = 1/√(πa⁴) e^−x2/2a[displaystyle \psi(x,0)={\frac{1}{\sqrt[4]{\pi a}}}e^{-{\frac{x^{2}}{2a}}}}

Fourier dönüşümüne ve dolayısıyla momentum dağılımına sahiptir:

ψ^(k, 0) = √(a/π)⁴ e^−ak2/2[displaystyle {\hat{\psi}}(k,0)={\sqrt[4]{\frac{a}{\pi}}}e^{-{\frac{ak^{2}}{2}}}]

a'yı küçülttüğümüzde konumdaki yayılım küçülür, ancak momentumdaki yayılım büyür. Tersine, a'yı büyüttüğümüzde momentumdaki yayılım küçülür, ancak konumdaki yayılım büyür. Bu, belirsizlik ilkesini gösterir.

Gauss dalga paketini zaman içinde geliştirdiğimizde, merkezini sabit bir hızla uzayda hareket ettiğini (üzerinde hiçbir kuvvet etki etmeyen klasik bir parçacık gibi) görürüz. Bununla birlikte, dalga paketi zaman ilerledikçe yayılacaktır, bu da konumun giderek daha belirsiz hale gelmesi anlamına gelir. Momentumdaki belirsizlik ise sabit kalır.[34].

Kutu İçi Parçacık

Ana madde: Kutu içindeki parçacık

Bir boyutlu potansiyel enerji kutusu içindeki parçacık, enerji seviyelerinin nicelenmesine yol açan kısıtlamaların en matematiksel olarak basit örneğidir. Kutu, belirli bir bölgenin içinde her yerde sıfır potansiyel enerjiye ve bu bölgenin dışındaki her yerde sonsuz potansiyel enerjiye sahip olarak tanımlanır.[25]: 77-78 Bir boyutlu durumda x yönünde, zaman bağımsız Schrödinger denklemi şöyle yazılabilir:

−ħ²/2m d²ψ/dx² = Eψ [displaystyle -{\frac{\hbar^{2}}{2m}}{\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}}=E\psi]

p̂_x = −iħ d/dx ile tanımlanan diferansiyel operatör kullanılarak, önceki denklem klasik kinetik enerji analoğuna benzer:

1/2m p̂_x² = E [displaystyle {\frac{1}{2m}}{\hat{p}}_{x}^{2}=E]

burada durum ψ enerjisi E ile parçacığın kinetik enerjisine karşılık gelir.

Kutu için Schrödinger denkleminin genel çözümleri şöyledir:

ψ(x) = A e^ikx + B e^-ikx E = ħ²k²/2m[displaystyle \psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}}]

veya, Euler formülünden:

ψ(x) = C sin(kx) + D cos(kx) [displaystyle \psi(x)=C\sin(kx)+D\cos(kx)]

Katonun sonsuz potansiyel duvarları, C, D ve k'nın x = 0 ve x = L'deki değerlerini belirler, burada ψ sıfır olmalıdır. Böylece, x = 0'da:

ψ(0) = 0 = C sin(0) + D cos(0) = D [displaystyle \psi(0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D]

ve D = 0 [displaystyle D=0] . x = L'de:

ψ(L) = 0 = C sin(kL) [displaystyle \psi(L)=0=C\sin(kL)]

burada C sıfır olamaz, çünkü bu, ψ'nin normunun 1 olması gerektiği postülasyona aykırıdır. Dolayısıyla, sin(kL) = 0 olduğundan, kL π'nin bir tam katı olmalıdır:

k = nπ/L n = 1, 2, 3, … [displaystyle k={\frac{n\pi}{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots]

k üzerindeki bu kısıt, enerji seviyeleri üzerinde bir kısıt anlamına gelir, böylece

E_n = ħ²π²n²/2mL² = n²h²/8mL²[displaystyle E_{n}={\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}]

Sonlu potansiyel kuyusu, sonsuz potansiyel kuyusu probleminin, sonlu derinliğe sahip potansiyel kuyulara genelleştirilmesidir. Sonlu potansiyel kuyusu problemi, dalga fonksiyonu kuyunun duvarlarında sıfır olmadığı için sonsuz parçacık-kutu problemi kadar matematiksel olarak karmaşıktır. Bunun yerine, dalga fonksiyonu kuyunun dışındaki bölgelerde sıfır olmadığı için, dalga fonksiyonu daha karmaşık matematiksel sınır koşullarını sağlamalıdır. Başka bir ilgili problem, modern teknolojilerde (örneğin, flash bellekte ve taramalı tünemecilik mikroskobunda) önemli bir rol oynayan kuantum tünemecilik etkisini sağlayan dikdörtgen potansiyel bariyer problemidir.

Harmonik Osilatör

Ana madde: Kuantum harmonik osilatör

Klasik durumda olduğu gibi, kuantum harmonik osilatörün potansiyeli şöyledir:[7]: 234

V(x) = 1/2mω²x²[displaystyle V(x)={\frac{1}{2}}m\omega^{2}x^{2}]

Bu problem, doğrudan Schrödinger denklemini çözerek (bu önemsiz değildir) veya daha incelikli "merdiven yöntemi" kullanılarak ele alınabilir, ilk olarak Paul Dirac tarafından önerilmiştir. Öz durumlar şu şekilde verilir:

ψ_n(x) = 1/√(2ⁿn!) · (mω/πħ)^1/4 · e^−mωx2/2ħ · H_n(√(mω/ħ)x) [displaystyle \psi_{n}(x)={\sqrt{\frac{1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac{m\omega}{\pi\hbar}}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac{m\omega x^{2}}{2\hbar}}}\,H_{n}\left({\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}}x\right)]

n = 0, 1, 2, … [displaystyle n=0,1,2,\ldots]

n, Hermite polinomlarıdır[displaystyle H_{n}]

H_n(x) = (−1)ⁿ e^x2 dⁿ/dxⁿ (e^−x2)[displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac{d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)]

ve karşılık gelen enerji seviyeleri şöyledir:

E_n = ħω(n+1/2).[displaystyle E_{n}=\hbar\omega\left(n+{1\over 2}\right)]

Bu, bağlı durumlar için enerjinin ayrıklaştırılmasını gösteren başka bir örnektir.

Mach-Zehnder Girişimölçeri

Mach-Zehnder girişimölçeri (MZI), üst üste bindirme ve girişim kavramlarını 2 boyutlu lineer cebirle, diferansiyel denklemler yerine gösterir. Çift yarık deneyinin basitleştirilmiş bir versiyonu olarak görülebilir, ancak örneğin gecikmeli seçim kuantum silgisi, Elitzur-Vaidman bomba testi ve kuantum dolanıklığı çalışmaları açısından kendi başına ilgi çekicidir.[35][36].

Bir fotonun girişimölçerden geçişini modellemek için, her noktada yalnızca iki yolda üst üste bindirme durumu olabileceğini göz önünde bulundurmak gerekir: soldan başlayan, iki ışın bölmecisinden düz geçen ve üstte biten "alt" yol ve altta başlayan, iki ışın bölmecisinden düz geçen ve sağda biten "üst" yol. Fotonun kuantum durumu bu nedenle, ψ_l = (1, 0) ve ψ_u = (0, 1) "alt" yolunun ve "üst" yolunun üst üste bindirme durumu olan ψ ∈ C² vektörüdür [displaystyle \psi \in \mathbb{C}^{2}], yani ψ = αψ_l + βψ_u karmaşık α, β için [displaystyle \psi =\alpha \psi_{l}+\beta \psi_{u}] . ⟨ψ, ψ⟩ = 1 postülasını korumak için |α|² + |β|² =