Bugün öğrendim ki: Antik Mısır'ın çarpma yöntemi, modern bilgisayar işlemcilerinde hala yaygın olarak kullanılmaktadır.

---

Çarpma algoritması

Matematikte, antik Mısır çarpması (Mısır çarpması, Etiyopya çarpması, Rus çarpması veya köylü çarpması olarak da bilinir), katipler tarafından kullanılan iki çarpma yönteminden biri olup, çarpım tablosuna ihtiyaç duymadan, yalnızca 2 ile çarpma ve bölme ile toplama becerisi gerektiren, iki sayıyı çarpmak için kullanılan sistematik bir yöntemdir. Çarpanlardan birini (tercihen küçüğünü) iki sayısının kuvvetlerinden oluşan bir kümeye ayrıştırır ve ardından ikinci çarpanın, kümedeki her bir değerle katlanmış değerlerinin bir tablosunu oluşturur; bu değerler toplanarak çarpma işleminin sonucu elde edilir.

Bu yöntem, bir sayının yarıya indirilmesini (mediation), diğerinin ise iki katına çıkarılmasını (duplation) ifade ettiği için "mediation and duplation" olarak adlandırılabilir. Bazı bölgelerde hâlâ kullanılmaktadır.[1]

İkinci Mısır çarpma ve bölme tekniği, M.Ö. on yedinci yüzyılda katip Ahmes tarafından yazılan hieratik Moskova ve Rhind Matematik Papirüslerinden bilinmektedir.[2]

Antik Mısır'da 2 tabanı kavramı var olmasa da, algoritma, çarpan ve çarpılan ikili sisteme (binary) dönüştürüldüğünde özünde uzun çarpma algoritması ile aynıdır. İkili sisteme dönüştürülerek yorumlanan bu yöntem, modern bilgisayar işlemcilerindeki ikili çarpan devrelerinde uygulandığı şekliyle günümüzde hâlâ yaygın olarak kullanılmaktadır.[1]

Yöntem

Antik Mısırlılar, her seferinde yeniden hesaplamak yerine, iki sayısının birçok kuvvetini içeren tablolar hazırlamışlardı. Bir sayıyı ayrıştırmak için, onu oluşturan iki kuvvetlerini belirlerlerdi. Mısırlılar, belirli bir iki kuvvetinin bir sayı içinde yalnızca bir kez görüneceğini deneysel olarak biliyorlardı. Ayrıştırma için metodik bir şekilde ilerlerlerdi; önce söz konusu sayıya eşit veya sayıdan küçük olan en büyük iki kuvvetini bulurlar, çıkarırlar ve geriye hiçbir şey kalmayana kadar işleme devam ederlerdi. (Mısırlılar matematikte sıfır sayısını kullanmıyorlardı.)

İlk çarpan ayrıştırıldıktan sonra, kişi ikinci çarpanın (genellikle daha küçük olanın) 1'den ayrıştırma sırasında bulunan en büyük iki kuvvetine kadar iki katlarını içeren bir tablo oluştururdu.

Sonuç, ikinci sütundaki, karşılık gelen iki kuvvetinin ilk çarpanın ayrıştırmasının bir parçasını oluşturduğu sayıların toplanmasıyla elde edilir.[1]

Matematiksel olarak konuşursak, doğal sayıların çarpımı sadece "toplamsal monoidde üs alma" olduğundan, bu çarpma yöntemi aynı zamanda üs alma için kullanılan "Kare ve çarp" (Square and multiply) algoritmasının özel bir durumu olarak da görülebilir.

Örnek

25 × 7 = ?

25 sayısının ayrıştırılması:

25'e eşit veya 25'ten küçük en büyük iki kuvveti 16'dır: 25 − 16 = 9. 9'a eşit veya 9'dan küçük en büyük iki kuvveti 8'dir: 9 − 8 = 1. 1'e eşit veya 1'den küçük en büyük iki kuvveti 1'dir: 1 − 1 = 0. Dolayısıyla 25; 16, 8 ve 1'in toplamıdır.

En büyük iki kuvveti 16 ve ikinci çarpan 7'dir.

1 7
2 14
4 28
8 56
16 112

25 = 16 + 8 + 1 olduğundan, 7'nin karşılık gelen katları toplanarak 25 × 7 = 112 + 56 + 7 = 175 sonucu elde edilir.

Rus köylü çarpması

Rus köylü yönteminde, çarpanın ayrıştırılmasındaki iki kuvvetleri, onu sol tarafa yazıp sol sütunu değer 1 (veya -1, bu durumda nihai toplamın işareti tersine çevrilir) olana kadar art arda ikiye bölerek (kalanlar atılır) ve aynı anda sağ sütunu ikiye katlayarak bulunur. Sol sütunda çift sayıların olduğu satırlar çizilir ve sağ sütunda kalan sayılar toplanır.[3]

Örnek

238 × 13 = ?

13 238
6 (kalan atıldı) 476 ( = 238 x 2 )
3 952 ( = 476 x 2 )
1 1904 ( = 952 x 2 )

13 +238
6 476
3 +952
1 +1904
3094

Ayrıca bakınız

Mısır kesri
Mısır matematiği
Çarpma algoritmaları
İkili sayı sistemi

Kaynakça

Diğer kaynaklar

Boyer, Carl B. (1968) A History of Mathematics. New York: John Wiley.
Brown, Kevin S. (1995) The Akhmin Papyrus 1995 --- Egyptian Unit Fractions.
Bruckheimer, Maxim, and Y. Salomon (1977) "Some Comments on R. J. Gillings' Analysis of the 2/n Table in the Rhind Papyrus," Historia Mathematica 4: 445–52.
Bruins, Evert M. (1953) Fontes matheseos: hoofdpunten van het prae-Griekse en Griekse wiskundig denken. Leiden: E. J. Brill.
------- (1957) "Platon et la table égyptienne 2/n," Janus 46: 253–63.
Bruins, Evert M (1981) "Egyptian Arithmetic," Janus 68: 33–52.
------- (1981) "Reducible and Trivial Decompositions Concerning Egyptian Arithmetics," Janus 68: 281–97.
Burton, David M. (2003) History of Mathematics: An Introduction. Boston Wm. C. Brown.
Chace, Arnold Buffum, et al. (1927) The Rhind Mathematical Papyrus. Oberlin: Mathematical Association of America.
Cooke, Roger (1997) The History of Mathematics. A Brief Course. New York, John Wiley & Sons.
Couchoud, Sylvia. "Mathématiques égyptiennes". Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Egypte pharaonique., Paris, Le Léopard d'Or, 1993.
Daressy, Georges. "Akhmim Wood Tablets", Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale, 1901, 95–96.
Eves, Howard (1961) An Introduction to the History of Mathematics. New York, Holt, Rinehard & Winston.
Fowler, David H. (1999) The mathematics of Plato's Academy: a new reconstruction. Oxford Univ. Press.
Gardiner, Alan H. (1957) Egyptian Grammar being an Introduction to the Study of Hieroglyphs. Oxford University Press.
Gardner, Milo (2002) "The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term" in History of the Mathematical Sciences, Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav (eds), New Delhi, Hindustan Book Agency:119-34.
-------- "Mathematical Roll of Egypt" in Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer, Nov. 2005.
Gillings, Richard J. (1962) "The Egyptian Mathematical Leather Roll," Australian Journal of Science 24: 339–44. Reprinted in his (1972) Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press. Reprinted by Dover Publications, 1982.
-------- (1974) "The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How Did the Ancient Egyptian Scribe Prepare It?" Archive for History of Exact Sciences 12: 291–98.
-------- (1979) "The Recto of the RMP and the EMLR," Historia Mathematica, Toronto 6 (1979), 442–447.
-------- (1981) "The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it?" Historia Mathematica: 456–57.
Glanville, S.R.K. "The Mathematical Leather Roll in the British Museum" Journal of Egyptian Archaeology 13, London (1927): 232–8
Griffith, Francis Llewelyn. The Petrie Papyri. Hieratic Papyri from Kahun and Gurob (Principally of the Middle Kingdom), Vols. 1, 2. Bernard Quaritch, London, 1898.
Gunn, Battiscombe George. Review of The Rhind Mathematical Papyrus by T. E. Peet. The Journal of Egyptian Archaeology 12 London, (1926): 123–137.
Hultsch, F. Die Elemente der Aegyptischen Theihungsrechmun 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegangen, (1895):167-71.
Imhausen, Annette. "Egyptian Mathematical Texts and their Contexts", Science in Context 16, Cambridge (UK), (2003): 367–389.
Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock/the non-European Roots of Mathematics, Princeton, Princeton University Press, 2000
Klee, Victor, and Wagon, Stan. Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, Mathematical Association of America, 1991.
Knorr, Wilbur R. "Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece". Historia Mathematica 9 Berlin, (1982): 133–171.
Legon, John A.R. "A Kahun Mathematical Fragment". Discussions in Egyptology, 24 Oxford, (1992).
Lüneburg, H. (1993) "Zerlgung von Bruchen in Stammbruche" Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, Wissenschaftsverlag, Mannheim: 81=85.
Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2.
Robins, Gay and Charles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text, London, British Museum Press, 1987.
Roero, C. S. "Egyptian mathematics" Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences" I. Grattan-Guinness (ed), London, (1994): 30–45.
Sarton, George. Introduction to the History of Science, Vol I, New York, Williams & Son, 1927
Scott, A. and Hall, H.R., "Laboratory Notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC", British Museum Quarterly, Vol 2, London, (1927): 56.
Sylvester, J. J. "On a Point in the Theory of Vulgar Fractions": American Journal of Mathematics, 3 Baltimore (1880): 332–335, 388–389.
Vogel, Kurt. "Erweitert die Lederolle unserer Kenntniss ägyptischer Mathematik Archiv für Geschichte der Mathematik, V 2, Julius Schuster, Berlin (1929): 386-407
van der Waerden, Bartel Leendert. Science Awakening, New York, 1963
Hana Vymazalova, The Wooden Tablets from Cairo:The Use of the Grain Unit HK3T in Ancient Egypt, Archiv Orientalai, Charles U Prague, 2002.