Bugün öğrendim ki: Ortalama olarak, arkadaşlarınızın sizden daha fazla arkadaşı vardır. Bunun nedeni, popüler kişilerin birinin arkadaş grubunda olma olasılığının daha yüksek olması ve bu durumun ortalamayı çarpıtmasıdır. Bu olguya Arkadaşlık Paradoksu denir.

---

Çoğu insanın ortalamada arkadaşlarından daha az arkadaşa sahip olması olgusu

Arkadaşlık paradoksu, ilk kez 1991 yılında sosyolog Scott L. Feld tarafından gözlemlenen, ortalamada bir bireyin arkadaşlarının, o bireyin kendisinden daha fazla arkadaşa sahip olması olgusudur.[1] Bu durum, daha fazla arkadaşı olan kişilerin birinin kendi arkadaş grubunda olma ihtimalinin daha yüksek olduğu bir örneklem yanlılığı biçimi olarak açıklanabilir. Başka bir deyişle, çok az arkadaşı olan biriyle arkadaş olma ihtimali daha düşüktür. Bunun aksine, çoğu insan arkadaşlarının sahip olduğundan daha fazla arkadaşa sahip olduğuna inanır.[2][3][4][5]

Aynı gözlem, arkadaşlıktan farklı ilişkilerle tanımlanan sosyal ağlara da daha genel bir şekilde uygulanmıştır: örneğin, çoğu insanın cinsel partnerleri (ortalamada) kendilerinden daha fazla sayıda cinsel partnere sahip olmuştur.[6][7]

Arkadaşlık paradoksu, ağ yapısının bir bireyin yerel gözlemlerini nasıl önemli ölçüde çarpıtabileceğinin bir örneğidir.[8][9]

Matematiksel açıklama

[değiştir]

Görünüşte paradoksal doğasına rağmen, bu olgu gerçektir ve sosyal ağların genel matematiksel özelliklerinin bir sonucu olarak açıklanabilir. Bunun arkasındaki matematik, doğrudan aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği ile ilgilidir.[10]

Biçimsel olarak Feld, bir sosyal ağın, tepe noktalarının (V) sosyal ağdaki kişilere, kenarların (E) ise kişiler arasındaki arkadaşlık ilişkisine karşılık geldiği yönsüz bir çizge G = (V, E) ile temsil edildiğini varsayar. Yani, arkadaşlığın simetrik bir ilişki olduğunu varsayar: eğer x, y'nin arkadaşıysa, y de x'in arkadaşıdır. x ve y arasındaki arkadaşlık bu nedenle {x, y} kenarı ile modellenir ve bir bireyin sahip olduğu arkadaş sayısı, bir tepe noktasının derecesine karşılık gelir. Sosyal ağdaki bir kişinin sahip olduğu ortalama arkadaş sayısı, çizgedeki tepe noktalarının derecelerinin ortalaması ile verilir. Yani, eğer v tepe noktası kendisine temas eden d(v) kenara sahipse (d(v) kadar arkadaşı olan bir kişiyi temsil eder), çizgedeki rastgele bir kişinin sahip olduğu ortalama arkadaş sayısı μ şöyledir:

μ = ∑ v ∈ V d ( v ) | V | = 2 | E | | V | . {\displaystyle \mu ={\frac {\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}}={\frac {2|E|}{|V|}}.}

Tipik bir arkadaşın sahip olduğu ortalama arkadaş sayısı, rastgele bir kişi seçilerek (en az bir arkadaşı olan) ve ardından arkadaşlarının ortalamada kaç arkadaşı olduğunun hesaplanmasıyla modellenebilir. Bu, çizgeden (bir arkadaş çiftini temsil eden) rastgele bir kenar ve bu kenarın bir uç noktasını (arkadaşlardan biri) seçmeye ve seçilen uç noktanın derecesini hesaplamaya denk gelir. Belirli bir v tepe noktasının seçilme olasılığı şöyledir:

d ( v ) | E | 1 2 . {\displaystyle {\frac {d(v)}{|E|}}{\frac {1}{2}}.}

İlk faktör, seçilen kenarın tepe noktasını içerme olasılığına karşılık gelir ve bu, tepe noktasının daha fazla arkadaşı olduğunda artar. Yarıya indirme faktörü, her kenarın iki tepe noktasına sahip olmasından kaynaklanır. Bu durumda, (rastgele seçilmiş) bir arkadaşın sahip olduğu arkadaş sayısının beklenen değeri şöyledir:

∑ v ( d ( v ) | E | 1 2 ) d ( v ) = ∑ v d ( v ) 2 2 | E | . {\displaystyle \sum _{v}\left({\frac {d(v)}{|E|}}{\frac {1}{2}}\right)d(v)={\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{2|E|}}.}

Varyansın tanımından şunu biliyoruz:

∑ v d ( v ) 2 | V | = μ 2 + σ 2 , {\displaystyle {\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{|V|}}=\mu ^{2}+\sigma ^{2},}

burada σ 2 {\displaystyle {\sigma }^{2}} çizgedeki derecelerin varyansıdır. Bu, istenen beklenen değeri şu şekilde hesaplamamızı sağlar:

∑ v d ( v ) 2 2 | E | = | V | 2 | E | ( μ 2 + σ 2 ) = μ 2 + σ 2 μ = μ + σ 2 μ . {\displaystyle {\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{2|E|}}={\frac {|V|}{2|E|}}(\mu ^{2}+\sigma ^{2})={\frac {\mu ^{2}+\sigma ^{2}}{\mu }}=\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}.}

Farklı derecelerde tepe noktalarına sahip bir çizge için (sosyal ağlarda tipik olduğu üzere), σ 2 {\displaystyle {\sigma }^{2}} kesinlikle pozitiftir, bu da bir arkadaşın ortalama derecesinin rastgele bir düğümün ortalama derecesinden kesinlikle daha büyük olduğu anlamına gelir.

İlk terimin nasıl geldiğini anlamanın bir başka yolu şöyledir: Her bir (u, v) arkadaşlığı için, bir u düğümü, v'nin bir arkadaş olduğunu belirtir ve v'nin d(v) tane arkadaşı vardır. Bunu belirten d(v) tane arkadaş vardır. Bu nedenle d(v) karesi terimi oluşur. Bunu ağdaki tüm bu tür arkadaşlıklar için hem u hem de v perspektifinden ekleriz, bu da payı verir. Payda ise ağdaki toplam arkadaşlık sayısıdır, bu da ağdaki toplam kenarların iki katıdır (biri u'nun diğeri v'nin perspektifinden).

Bu analizden sonra Feld, sosyal ağların seçilimci karma (assortative mixing) gibi teorilerine dayanarak, iki arkadaşın sahip olduğu arkadaş sayıları arasındaki istatistiksel korelasyon hakkında daha nitel varsayımlarda bulunur ve bu varsayımların, arkadaşları kendilerinden daha fazla arkadaşa sahip olan kişi sayısı hakkında ne anlama geldiğini analiz eder. Bu analize dayanarak, gerçek sosyal ağlarda çoğu insanın, arkadaşlarının arkadaş sayılarının ortalamasından daha az arkadaşa sahip olma olasılığının yüksek olduğu sonucuna varır. Ancak bu sonuç matematiksel bir kesinlik değildir; sosyal ağ olarak ortaya çıkması pek olası olmayan ancak çoğu tepe noktasının komşularının ortalama derecesinden daha yüksek dereceye sahip olduğu yönsüz çizgeler (büyük ve tam bir çizgeden tek bir kenarın çıkarılmasıyla oluşan çizge gibi) mevcuttur.

Arkadaşlık Paradoksu çizge teorisi terimleriyle "bir ağda rastgele seçilen bir düğümün ortalama derecesi, rastgele seçilen bir düğümün komşularının ortalama derecesinden düşüktür" şeklinde yeniden ifade edilebilir, ancak bu, ortalamanın kesin mekanizmasını (yani makro vs mikro ortalama) belirtilmemiş bırakır. G = (V, E) izole düğümleri olmayan, |V| = N ve |E| = M olan yönsüz bir çizge olsun. u düğümünün komşular kümesi nbr(u) ile gösterilsin. Ortalama derece o zaman μ = 1 N ∑ u ∈ V | nbr ⁡ ( u ) | = 2 M N ≥ 1 {\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1} olur. u düğümünün "arkadaşlarının arkadaşları" sayısı FF(u) = ∑ v ∈ nbr ⁡ ( u ) | nbr ⁡ ( v ) | {\displaystyle \operatorname {FF} (u)=\sum _{v\in \operatorname {nbr} (u)}|\operatorname {nbr} (v)|} ile gösterilsin. Bunun 2-sıçramalı komşuları birden fazla kez sayabileceğine dikkat edin, ancak Feld'in analizi de bunu yapmaktadır. FF ⁡ ( u ) ≥ | nbr ⁡ ( u ) | ≥ 1 {\displaystyle \operatorname {FF} (u)\geq |\operatorname {nbr} (u)|\geq 1} bağıntımız vardır. Feld aşağıdaki "mikro ortalama" miktarını değerlendirmiştir.

MicroAvg = ∑ u ∈ V FF ⁡ ( u ) ∑ u ∈ V | nbr ⁡ ( u ) | {\displaystyle {\text{MicroAvg}}={\frac {\sum _{u\in V}\operatorname {FF} (u)}{\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|}}}

Bununla birlikte, aynı derecede geçerli olan ve şu şekilde verilen "makro ortalama" miktarı da vardır:

MacroAvg = 1 N ∑ u ∈ V FF ⁡ ( u ) | nbr ⁡ ( u ) | {\displaystyle {\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}{\frac {\operatorname {FF} (u)}{|\operatorname {nbr} (u)|}}}

MacroAvg'nin hesaplanması aşağıdaki sözde kod olarak ifade edilebilir.

Her {u, v} kenarı, MacroAvg'ye | nbr ⁡ ( v ) | | nbr ⁡ ( u ) | + | nbr ⁡ ( u ) | | nbr ⁡ ( v ) | ≥ 2 {\displaystyle {\frac {|\operatorname {nbr} (v)|}{|\operatorname {nbr} (u)|}}+{\frac {|\operatorname {nbr} (u)|}{|\operatorname {nbr} (v)|}}\geq 2} miktarını katkıda bulunur, çünkü min a , b > 0 a b + b a = 2 {\displaystyle \min _{a,b>0}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}=2} 'dir. Böylece şuna ulaşırız:

MacroAvg = 1 N ∑ u ∈ V Q ( u ) ≥ 1 N ⋅ M ⋅ 2 = 2 M N = μ {\displaystyle {\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu } .

Böylece, hem MicroAvg ≥ μ {\displaystyle {\text{MicroAvg}}\geq \mu } hem de MacroAvg ≥ μ {\displaystyle {\text{MacroAvg}}\geq \mu } eşitsizliklerine sahibiz, ancak aralarında herhangi bir eşitsizlik geçerli değildir.[11]

2023 tarihli bir makalede, Ghasemian ve Christakis tarafından "düşmanlık paradoksu" (enmity paradox) olarak adlandırılan, olumsuz, karşıt veya düşmanca bağlar için paralel bir paradoks tanımlanmış ve gösterilmiştir.[12] Kısacası, kişinin düşmanları da kendisinden daha fazla düşmana sahiptir. Bu makale aynı zamanda hem düşmanca hem de dostça bağların olduğu "karma dünyalardaki" çeşitli olguları da belgelemiştir.

Uygulamalar

[değiştir]

Arkadaşlık paradoksunun analizi, rastgele seçilen bireylerin arkadaşlarının ortalamadan daha yüksek merkeziliğe sahip olma eğiliminde olduğunu ima eder. Bu gözlem, ağdaki tüm düğümlerin merkeziliğinin karmaşık bir şekilde hesaplanmasına gerek kalmadan, bağışıklanacak veya enfeksiyon açısından izlenecek bireyleri seçmek için bu rastgele seçim sürecini kullanarak salgınların seyrini tahmin etmek ve yavaşlatmak amacıyla bir yöntem olarak kullanılmıştır.[13][14][15] Benzer şekilde, anket ve seçim tahminlerinde, arkadaşlık paradoksu, diğer birçok bireyin nasıl oy kullanacağı hakkında bilgi sahibi olabilecek, iyi bağlantılara sahip bireylere ulaşmak ve onlara soru sormak için kullanılmıştır.[16] Ancak, bu tür bağlamlarda kullanıldığında, arkadaşlık paradoksu, çok sayıda arkadaşı olan bireyleri aşırı temsil ederek kaçınılmaz olarak yanlılık yaratır ve sonuçta elde edilen tahminleri saptırabilir.[17][18]

Christakis ve Fowler tarafından 2010 yılında yapılan bir çalışma, arkadaşlık paradoksunun bir sosyal ağdaki enfeksiyonu izlemek için kullanılmasıyla, grip salgınlarının geleneksel sürveyans önlemlerinden yaklaşık iki hafta önce tespit edilebileceğini göstermiştir.[19] Merkezi arkadaşların sağlığını analiz etmek için arkadaşlık paradoksunu kullanmanın "salgınları tahmin etmek için ideal bir yol olduğunu, ancak çoğu grup için ayrıntılı verinin mevcut olmadığını ve bunu üretmenin zaman alıcı ve maliyetli olacağını" bulmuşlardır.[20] Bu durum fikirlerin yayılmasına da uzanmakta olup, arkadaşlık paradoksunun ağlar üzerinden fikirlerin ve yanlış bilgilerin yayılmasını izlemek ve tahmin etmek için kullanılabileceğine dair kanıtlar bulunmaktadır.[21][13][22] Bu gözlem, daha fazla sosyal bağlantıya sahip bireylerin bu fikirlerin ve inançların yayılmasının arkasındaki itici güç olabileceği ve bu nedenle erken uyarı sinyalleri olarak kullanılabileceği argümanıyla açıklanmıştır.[18]

Arkadaşlık paradoksu tabanlı örneklemenin (yani rastgele arkadaşların örneklenmesi), ölçekten bağımsız ağların güç yasası derece dağılımlarını tahmin etmek amacıyla klasik tekdüze örneklemeden teorik ve deneysel olarak daha üstün olduğu gösterilmiştir.[23][24] Bunun nedeni, ağı tekdüze bir şekilde örneklemenin, güç yasası derece dağılımının karakteristik ağır kuyruk kısmından düzgün bir tahmin yapacak kadar örnek toplamayacak olmasıdır. Ancak, rastgele arkadaşları örneklemek, örnekleme derece dağılımının kuyruğundan (yani daha fazla yüksek dereceli düğüm) daha fazla düğüm dahil eder. Bu nedenle, arkadaşlık paradoksu tabanlı örnekleme, bir güç yasası derece dağılımının karakteristik ağır kuyruğunu daha doğru bir şekilde yakalar ve tahminin yanlılığını ve varyansını azaltır.

"Genelleştirilmiş arkadaşlık paradoksu", arkadaşlık paradoksunun diğer özellikler için de geçerli olduğunu belirtir. Örneğin, birinin ortak yazarlarının ortalamada daha seçkin olma, daha fazla yayına, daha fazla atıfa ve daha fazla işbirlikçiye sahip olma olasılığı yüksektir[25][26][27] ya da Twitter'daki takipçilerinizin daha fazla takipçisi vardır.[28] Aynı etki, çevrimiçi sosyal ağlarda hem bir Arkadaşlık hem de "mutluluk" paradoksunun oluşabileceğini göstermek için büyük ölçekli bir Twitter ağı ve ağdaki her bireyin öznel iyi oluşuna ilişkin boylamsal verileri kullanan Bollen ve ark. (2017)[29] tarafından Öznel İyi Oluş için de gösterilmiştir.

Arkadaşlık paradoksu, sosyal ağlar içindeki yapısal olarak etkili düğümleri tanımlamak ve böylece insan refahı ve halk sağlığı ile ilgili çeşitli uygulamaların sosyal bulaşmasını artırmak için bir araç olarak da kullanılmıştır. Bunun, Honduras'taki multivitamin kullanımı[30] veya anne ve çocuk sağlığı uygulamaları[31][32] ya da Hindistan'da demirle zenginleştirilmiş tuz kullanımı[33] ile ilgili olarak Christakis ve ark. tarafından yürütülen birkaç büyük ölçekli randomize kontrollü saha çalışmasında mümkün olduğu gösterilmiştir. Bu teknik değerlidir çünkü arkadaşlık paradoksundan yararlanarak, tüm ağın haritasını çıkarmanın maliyeti ve gecikmesi olmadan bu etkili düğümler tanımlanabilmektedir.

Ayrıca bakınız

[değiştir]

Paradokslar listesi#Matematik – Kendisiyle çelişiyor gibi görünen ifadeler listesi

İkinci komşuluk problemi – Yönlü çizgeler hakkında çözülmemiş problem

Öz-değerlendirme bakım teorisi – Sosyal psikolojide bir kavram

Referanslar

[değiştir]