Bugün öğrendim ki: Pizzanın adını taşıyan bir matematik teoremi vardır.
Dilimlenen bir diskin alanlarının eşitliği
Elementer geometride, pizza teoremi, bir diski belirli bir şekilde bölünmesi durumunda ortaya çıkan iki alanın eşitliğini ifade eder.
Teorem, geleneksel bir pizza dilimlenme tekniğini taklit ettiği için bu adla anılır. İki kişinin pizzayı 8 parçaya (veya 8'den büyük 4'ün katlarına) bölerek sırayla dilim aldıklarını gösterir; merkezdeki kesim noktası ne olursa olsun her ikisinin de eşit miktarda pizza alması.
d, diskin iç noktası ve n, 8'den büyük veya eşit bir 4'ün katı olsun. d noktasından geçen keyfi bir doğru seçerek, bu doğruyu 2π/n radyanlık bir açı ile n/2-1 kez döndürerek ve oluşan n/2 doğru üzerinde diski dilimleyerek diski n eşit açılı sektöre ayırın. Sektörleri saat yönünde veya saat yönünün tersine ardışık olarak numaralandırın. O zaman pizza teoremi şöyle belirtir:
Tek numaralı sektörlerin alanlarının toplamı, çift numaralı sektörlerin alanlarının toplamına eşittir (Upton 1968).
Pizza teoremi, başlangıçta Upton (1967) tarafından bir zorluk problemi olarak önerildi. Bu problemin yayımlanan çözümü, Michael Goldberg tarafından, sektörlerin alanlarının cebirsel ifadelerinin doğrudan manipülasyonunu içeriyordu. Carter & Wagon (1994a), diseksiyon yoluyla alternatif bir kanıt sunmuştur. Sektörleri, tek numaralı bir sektördeki her bir parçanın, çift numaralı bir sektördeki denk bir parçaya ve bunun da tersi şekilde sahip olacağı şekilde daha küçük parçalara bölmeyi göstermiştir. Frederickson (2012), tüm durumlar için (sektör sayısı 8, 12, 16, ...) diseksiyon kanıtlarının bir ailesini vermiştir.
Sektör sayısının dört ile çarpılabilir olması gereklidir: Don Coppersmith'in gösterdiği gibi, bir diski dört sektöre veya dört ile bölünemeyen sayıda sektöre bölmek, genel olarak eşit alanlar üretmez. Mabry & Deiermann (2009), Carter & Wagon (1994b)'nin bir problemine, alanların eşit olmadığı durumlarda hangi iki sektör kümesinin daha büyük alana sahip olduğunu belirleyen teoremin daha kesin bir versiyonunu sağlayarak cevap verdi. Özellikle, sektör sayısı 2 (mod 8) ise ve hiçbir dilim diskin merkezinden geçmiyorsa, merkezi içeren dilim alt kümesinin diğer alt kümeden daha küçük bir alanı vardır, sektör sayısı 6 (mod 8) ise ve hiçbir dilim diskin merkezinden geçmiyorsa, merkezi içeren dilim alt kümesinin diğer alt kümeden daha büyük bir alanı vardır. Tek sayıda sektör, düz çizgi kesimleriyle mümkün değildir ve merkezden geçen bir dilim, sektör sayısından bağımsız olarak iki alt kümenin eşit olmasına neden olur.
Mabry & Deiermann (2009), pizza eşit şekilde bölündüğünde, kabuğun da eşit şekilde bölündüğünü gözlemler (kabuk, diskin çevresi veya diskin sınırını ve aynı merkezli daha küçük bir daire ile sınırlanan alan olarak yorumlanabilir, kesim noktası ikincisinin içinde bulunur) ve her iki daire tarafından sınırlanan diskler eşit şekilde bölündüğünden, farkları da eşittir. Ancak pizza eşit olmayan şekilde bölündüğünde, en fazla pizza alan kişinin aslında en az kabuğa sahip olduğu görülür.
Hirschhorn ve diğ. (1999), pizzanın eşit şekilde bölünmesinin, her bir malzeme diskinde (kesinlikle pizzanın merkezinde olmayıp d noktasını içeren) dağıtıldığı sürece, pizzadaki malzemelerin de eşit şekilde bölünmesine yol açtığını belirtiyor.
Hirschhorn ve diğ. (1999), pizza teoremde olduğu gibi n eşit açılı sektöre bölünmüş olan n sayıda bir pizzanın, n/4 kişi arasında da eşit olarak paylaşılabileceğini göstermektedir. Örneğin, 12 sektöre bölünmüş bir pizza, üç kişi arasında da, iki kişi arasında da eşit olarak paylaşılabilir; ancak beş Hirschhorn'a da yer açmak için pizzanın 20 sektöre bölünmesi gerekir.
Cibulka ve diğ. (2010) ve Knauer, Micek & Ueckerdt (2011), büyük bir pay garantilemek için pizza dilimlerini seçme oyun teorisini inceledi. İnceledikleri problem versiyonunda, pizza yarıçapsal olarak (eşit açılı sektörler garantisi olmadan) dilimlenir ve iki kişi sırayla, zaten yenmiş bir sektörün bitişiğinde olan pizza parçalarını seçer. İki kişi de yedikleri pizza miktarını maksimize etmeye çalışırsa, ilk dilimi alan kişi toplam pizzanın 4/9'unu garanti edebilir ve onun daha fazlasını alamayacağı bir pizza dilimlenme biçimi vardır. Adil bölüşüm veya pasta kesme problemi, farklı oyuncuların paylarının boyutunu nasıl ölçtüğüne ilişkin farklı kriterlere sahip olduğu benzer oyunları inceler; örneğin, bir kişi en fazla sucuk, diğeri en fazla peynir almak isteyebilir.
Brailov (2021), Brailov (2022), Ehrenborg, Morel & Readdy (2022) ve Ehrenborg, Morel & Readdy (2023) bu sonucu daha yüksek boyutlara genişletti, yani hiperdüzlemlerin belirli düzenlemeleri için hiperdüzlemler tarafından kesilen hacimlerin alternatif toplamının sıfır olduğunu gösterdi.
Ham sandviç teoremi ile karşılaştırın, n boyutlu nesneleri dilimlemeyle ilgili bir sonuç. İki boyutlu versiyon, şekli ne olursa olsun herhangi bir pizzanın alanının ve kabuğunun uzunluğunun aynı anda, dikkatlice seçilmiş tek bir düz çizgi kesimle yarıya bölünebileceğini ima eder. Üç boyutlu versiyon, taban, domates ve peynirin eşit olarak paylaşıldığı bir düzlem kesiminin varlığını ima eder.
Pasta sayısı
Bir daireyi alanlara bölme (Moser'in daire problemi)
Tembel garsonun dizisi, verilen sayıda düz dilimle elde edilebilecek maksimum pizza parçasını sayan bir tam sayı dizisidir.