Bugün öğrendim ki: eğer iki küp halinde düzenlenmiş bir sürü 1x1x1 bloğunuz varsa, üçüncü bir küp oluşturmak için blokları yeniden düzenlemenin hiçbir yolu yoktur
17. yüzyıl varsayımı, 1994 yılında Andrew Wiles tarafından ispatlandı.
Pierre de Fermat'ın adını taşıyan diğer teoremler için Fermat teoremine bakınız. Simon Singh'in kitabına bakmak için Fermat'ın Son Teoremi (kitap) başlığını kullanabilirsiniz.
Sayılar teorisinde, Fermat'ın Son Teoremi (bazen, özellikle eski metinlerde Fermat varsayımı olarak adlandırılır) 3'ten büyük herhangi bir tam sayı n değeri için a, b ve c pozitif tam sayılarının an + bn = cn denklemini sağlamadığını belirtir. n = 1 ve n = 2 durumları antik çağlardan beri sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu bilinmektedir.[1]
Önerme, Pierre de Fermat tarafından 1637 civarında Arithmetica kitabının bir kopyasının kenarında bir teorem olarak ifade edildi. Fermat, kenarda sığmayacak kadar büyük bir ispatı olduğunu da ekledi. Fermat'ın ispat olmadan yaptığı diğer ifadeler daha sonra başkaları tarafından kanıtlanarak Fermat teoremleri olarak kabul edildi (örneğin, iki kare toplamı üzerine Fermat teoremi), Fermat'ın Son Teoremi ispatı direnci gösterdi, bu da Fermat'ın doğru bir ispatı olup olmadığı konusunda şüpheye yol açtı. Sonuç olarak, önerme bir teorem yerine bir varsayım olarak bilinmeye başladı. Matematikçilerin 358 yıllık çabalarından sonra, ilk başarılı ispat 1994 yılında Andrew Wiles tarafından yapıldı ve 1995'te resmen yayınlandı. Wiles'ın 2016'daki Abel Ödülü alımında atıfta bulunulan "şaşırtıcı bir ilerleme" olarak nitelendirildi.[2] Ayrıca daha sonra modülerlik teoremi olarak bilinen Taniyama-Shimura varsayımının büyük bir kısmını da kanıtladı ve çok sayıda başka probleme ve matematiksel olarak güçlü modülerlik kaldırma tekniklerine tamamen yeni yaklaşımlar açtı.
Çözülememiş problem, 19. ve 20. yüzyıllarda cebirsel sayılar teorisinin gelişimini teşvik etti. Matematik tarihindeki en dikkate değer teoremler arasında yer alıyor ve ispatlanmadan önce, kısmen teoremin en çok başarısız ispata sahip olması nedeniyle Guinness Rekorlar Kitabı'nda "en zor matematik problemi" olarak yer alıyordu.[3]
Genel Bakış
[düzenle]
Pisagor kökenleri
[düzenle]
Pisagor denklemi x2 + y2 = z2, x, y ve z için sonsuz sayıda pozitif tam sayı çözümüne sahiptir; bu çözümler Pisagor üçlüleri olarak bilinir (en basit örnek 3, 4, 5'tir). Yaklaşık 1637'de Fermat, daha genel denklem an + bn = cn'nin n, iki tam sayıdan büyük bir tam sayı ise pozitif tam sayılarda çözümü olmadığını kitabının kenarına yazdı. Varsayımının genel bir ispatını yaptığını iddia etmesine rağmen, Fermat ispatının detaylarını bırakdı ve hiçbiri asla bulunamadı. İddiası ölümünden yaklaşık 30 yıl sonra keşfedildi. Bu iddia, Fermat'ın Son Teoremi olarak bilinmeye başladı ve sonraki üç buçuk yüzyıl boyunca çözümsüz kaldı.[4]
İddia sonunda matematiğin en dikkate değer çözümsüz problemlerinden biri haline geldi. Bunu kanıtlama girişimleri sayılar teorisinde önemli gelişmelere yol açtı ve zamanla Fermat'ın Son Teoremi matematikte çözülememiş bir problem olarak önemini kazandı.
Sonraki gelişmeler ve çözüm
[düzenle]
Fermat'ın kendisi tarafından kanıtlanan özel durum n = 4, teorem bazı asal olmayan üs n için yanlışsa, daha küçük bir n için de yanlış olması gerektiğini göstermeye yeterlidir, bu nedenle yalnızca asal n değerlerinin daha fazla araştırmaya ihtiyacı vardır.[not 1] Sonraki iki yüzyılda (1637-1839), varsayım yalnızca 3, 5 ve 7 asal sayıları için ispatlandı, ancak Sophie Germain, tüm asal sayı sınıfı için ilgili bir yaklaşımı yenilikçi bir şekilde ve kanıtlayarak geliştirdi. 19. yüzyılın ortalarında Ernst Kummer, bunu genişletti ve tüm düzenli asal sayılar için teoremi kanıtladı, düzensiz asal sayıları bireysel olarak analiz edilmek üzere bıraktı. Kummer'ın çalışmasına ve karmaşık bilgisayar çalışmalarıyla diğer matematikçiler ispatı dört milyon'a kadar tüm asal üsleri kapsayacak şekilde genişletebildiler,[5] ancak tüm üsler için bir ispat erişilemezdi (matematikçilerin genellikle bir ispatı imkansız, son derece zor veya mevcut bilgilerle elde edilemez olarak kabul ettiği anlamına geliyordu).[6]
Ayrı olarak, yaklaşık 1955'te Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama, iki tamamen farklı matematik alanı olan eliptik eğriler ve modüler formlar arasında bir bağlantı olabileceğini düşündüler. O zamanlar Taniyama-Shimura varsayımı (sonunda modülerlik teoremi olarak biliniyordu) olarak bilinen, kendi başına duruyordu, Fermat'ın Son Teoremi ile herhangi bir açık bağlantısı yoktu. Hem kendi başına önemli ve önemli olarak yaygın şekilde kabul edilmişti, ancak (Fermat teoremi gibi) ispat için çok erişilemez olarak kabul edildi.[7]
1984'te Gerhard Frey, bu iki önceki çözümsüz problem arasında görünüşte bir bağlantı fark etti. Frey, bunun nasıl ispatlanabileceğini öneren bir özet verdi. İki problemin yakından ilişkili olduğu tam ispat, Jean-Pierre Serre'nin kısmi bir ispatına dayanarak 1986 yılında Ken Ribet tarafından gerçekleştirildi, Serre, "epsilon varsayımı" olarak bilinen tek bir kısım hariç tümünü kanıtladı (bkz: Ribet teoremi ve Frey eğrisi).[2] Frey, Serre ve Ribet'in bu makaleleri, Taniyama-Shimura varsayımının en azından yarı kararlı eliptik eğriler sınıfı için ispatlanabilmesi durumunda Fermat'ın Son Teoreminin de otomatik olarak takip edileceğini gösterdi. Bağlantı aşağıda açıklanmaktadır: Fermat'ın Son Teoremini çürütmeye karşı gelebilecek her çözüm, Taniyama-Shimura varsayımını da çürütmek için kullanılabilir. Yani, modülerlik teoreminin doğru olduğu bulunursa, tanım gereği, Fermat'ın Son Teoremini çürüten bir çözüm olamaz, bu da Fermat'ın Son Teoreminin de doğru olması gerektiği anlamına gelir.
Her iki problem de o zamanlar ispat için korkutucu ve yaygın olarak "tamamen erişilemez" olarak kabul edilmesine rağmen,[2] bu, Fermat'ın Son Teoreminin tüm sayılar için değil sadece bazı sayılar için genişletilebileceği ve ispatlanabileceği bir yolun ilk önerisiydi. Fermat'ın Son Teoremi'nden farklı olarak, Taniyama-Shimura varsayımı önemli bir aktif araştırma alanıydı ve çağdaş matematiğin daha ulaşılabilir olarak görülüyordu.[8] Ancak genel görüş, bunun sadece Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamanın imkansızlığını gösterdiğiydi.[9] Matematikçi John Coates'ın alıntıladığı tepki ortak bir tepkiydi:[9]
Fermat'ın Son Teoremi ile Taniyama-Shimura varsayımı arasındaki güzel bağın aslında bir şeye yol açacağını kendim çok şüpheliydim, çünkü itiraf etmeliyim ki Taniyama-Shimura varsayımının kanıtlanabileceğine inanmıyordum. Bu problem ne kadar güzel olsa da, ispatlanması imkansız gibi görünüyordu. İtiraf etmeliyim ki muhtemelen ömrümde ispatlanacağını düşünmüyordum.
Ribet'in Frey'in bağlantısının doğru olduğunu ispatlamasını duyan, Fermat'ın Son Teoremi'ne çocukluk hayranlığı olan ve eliptik eğriler ve ilgili alanlarda çalışan bir İngiliz matematikçisi olan Andrew Wiles, Fermat'ın Son Teoremini ispatlamak için Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamaya karar verdi. 1993 yılında, sorunu gizlice altı yıl çalıştıktan sonra, Wiles, Fermat'ın Son Teoremini kanıtlamak için varsayımın yeterince ispatını gerçekleştirdi. Wiles'ın makalesi boyut ve kapsam açısından devasaydı. İlk makalenin bir bölümünde inceleme sırasında bir hata keşfedildi ve bunun çözülmesi için bir önceki öğrenci olan Richard Taylor ile bir yıllık işbirliği gerekti. Sonuç olarak, 1995'teki son ispat, düzeltmelerin geçerli olduğunu gösteren daha küçük bir ortak makale ile birlikte geldi. Wiles'ın başarısı popüler basında geniş çapta bildirildi ve kitaplarda ve televizyon programlarında popülerleştirildi. Daha sonra 1996 ve 2001 yılları arasında Wiles'ın çalışmalarına dayanan diğer matematikçiler tarafından şu anda modülerlik teoremi olarak bilinen Taniyama-Shimura-Weil varsayımının kalan kısımları kanıtlandı.[10][11][12] Wiles, ispatı için onurlandırıldı ve 2016 Abel Ödülü de dahil olmak üzere birçok ödül aldı.[13][14][15]
Teoremin denk ifadeleri
[düzenle]
Fermat'ın Son Teoreminin orijinal ifadeye matematiksel olarak eşdeğer olan birkaç alternatif ifade yolu vardır.
Bunları ifade etmek için aşağıdaki gösterimleri kullanıyoruz: N, 1, 2, 3,... doğal sayılar kümesini, Z, 0, ±1, ±2,... tam sayılar kümesini ve Q, a/b rasyonel sayılar kümesini temsil etsin, burada a ve b Z'de ve b ≠ 0'dır. Aşağıdakilerde, x, y veya z'den biri veya daha fazlası sıfır olan xn + yn = zn'nin bir çözümüne önemsiz çözüm diyeceğiz. Üçü de sıfırdan farklı olan bir çözüm, önemsiz çözüm olarak adlandırılacaktır.
Karşılaştırma amacıyla önce orijinal formülasyonla başlayalım.
Orijinal ifade. n, x, y, z ∈ N (yani n, x, y, z hepsi pozitif tam sayılar) ve n > 2 olmak üzere xn + yn = zn denkleminin hiçbir çözümü yoktur.
Konunun çoğu popüler incelemesi şu şekilde ifade edilmektedir. Ayrıca genellikle Z üzerinde de ifade edilir:[16]
Eşdeğer ifade 1: n ≥ 3 tam sayısı için xn + yn = zn denkleminin x, y, z ∈ Z önemsiz çözümü yoktur.
Eşdeğerlik, n çift ise açıktır. n tek ve x, y, z üçü de negatif ise, x, y, z'yi −x, −y, −z ile değiştirebilir ve N'de bir çözüm elde edebiliriz. İkisinden ikisi negatif ise, x ve z veya y ve z olmalıdır. x, z negatif ve y pozitif ise, düzenleyerek (−z)n + yn = (−x)n elde edebilir, bu da N'de bir çözüm anlamına gelir; diğer durum da benzer şekilde ele alınır. Şimdi sadece biri negatifse, x veya y olmalıdır. x negatif ve y ve z pozitif ise, düzenleyerek (−x)n + zn = yn elde edebilir, bu da yine N'de bir çözüm anlamına gelir; y negatifse, sonuç simetrik olarak elde edilir. Bu nedenle tüm durumlarda Z'de önemsiz bir çözüm, orijinal problem formülasyonu olan N'de bir çözümün de var olduğu anlamına gelir.
Eşdeğer ifade 2: n ≥ 3 tam sayısı için xn + yn = zn denkleminin x, y, z ∈ Q önemsiz çözümü yoktur.
Çünkü x, y ve z'nin üsleri eşittir (n'ye), dolayısıyla Q'da bir çözüm varsa, uygun ortak payda ile çarpılarak Z'de ve dolayısıyla N'de bir çözüm elde edilebilir.
Eşdeğer ifade 3: n ≥ 3 tam sayısı için xn + yn = 1 denkleminin x, y ∈ Q önemsiz çözümü yoktur.
xn + yn = zn denkleminin Z'de önemsiz çözümü a, b, c ∈ Z ise, vn + wn = 1 için a/c, b/c ∈ Q önemsiz çözümü elde eder. Tersine, vn + wn = 1 için a/b, c/d ∈ Q önemsiz çözümü varsa, xn + yn = zn için ad, cb, bd önemsiz çözümü elde eder.
Bu son formülasyon özellikle verimlidir, çünkü problemi üç boyutlu yüzeyler hakkındaki bir problemden iki boyutlu eğriler hakkındaki bir probleme indirger. Ayrıca, Q alanında Z halkası üzerinde çalışmayı sağlar; alanlar halka yapısından daha fazla yapıya sahiptir, bu da elemanlarının daha derin bir analizine izin verir.
Eşdeğer ifade 4 - eliptik eğrilerle bağlantı: a, b, c, p tek asal sayı olmak üzere ap + bp = cp denkleminin önemsiz çözümü ise, y2 = x(x − ap)(x + bp) (Frey eğrisi) modüler olmayan bir eliptik eğri olacaktır.[17]
Ribet teoremi ile bu eliptik eğriye bakmak, modüler bir forma sahip olmadığını gösterir. Ancak Andrew Wiles'ın ispatı, y2 = x(x − an)(x + bn) biçimindeki her denklemin modüler bir forma sahip olduğunu kanıtlar. Bu nedenle, xp + yp = zp denkleminin (p tek asal sayı olmak üzere) herhangi bir önemsiz çözümü bir çelişki yaratacak ve bu da önemsiz çözümlerin olmadığını kanıtlayacaktır.[18]
Başka bir deyişle, Fermat'ın Son Teoremini çürütmeye karşı gelebilecek her çözüm, modülerlik teoremini çürütmek için de kullanılabilir. Yukarıda açıklandığı gibi, bu eşdeğer ifadenin keşfi, Fermat'ın Son Teoreminin tüm sayılar için "saldırılmasına" olanak sağladığı için nihai çözümünde çok önemliydi.