Bugün öğrendim ki: ilginç sayı paradoksu, doğal sayıları "ilginç" veya "ilginç olmayan" olarak sınıflandırdığımızda bir çelişkinin ortaya çıktığını öne sürer: en küçük ilginç olmayan sayı, kümesindeki en küçük sayı olarak ilginç hale gelir. Bu, her doğal sayının ilginç olduğu anlamına gelir.
Küçük İlginç Olmayan Sayı Üzerine
İlginç sayılar paradoksu, her doğal sayıyı "ilginç" veya "ilginç olmayan" olarak sınıflandırma girişiminden kaynaklanan esprili bir paradokstur. Paradoks, her doğal sayının ilginç olduğunu belirtir. "İspat" çelişkiye dayanır: boş olmayan bir ilginç olmayan doğal sayılar kümesi varsa, en küçük ilginç olmayan bir sayı vardır - ancak en küçük ilginç olmayan sayı, en küçük ilginç olmayan sayı olduğu için kendine göre ilginçtir, dolayısıyla bir çelişki yaratır.
Sayılarla ilgili "ilginçlik", normal terimlerle resmi bir kavram değildir, ancak bazı sayı teorisyenleri arasında "ilginçlik" konusunda doğuştan gelen bir kavram vardır. Meşhur olarak, matematikçiler G. H. Hardy ve Srinivasa Ramanujan arasında ilginç ve ilginç olmayan sayılar hakkında bir tartışmada, Hardy, bindiği taksinin plaka numarası olan 1729'un "oldukça sıkıcı" olduğunu söylemiş ve Ramanujan hemen iki farklı şekilde iki küpün toplamı olan en küçük sayı olduğu için ilginç olduğunu söylemiştir.
Paradoksal Doğası
[düzenle]
Bütün sayıları bu şekilde sınıflandırmaya çalışmak, tanımın paradoksuna veya çelişkisine yol açar. Doğal sayıları ilginç ve ilginç olmayan kümeler halinde herhangi bir varsayımsal bölünme başarısız görünmektedir. İlginç tanım genellikle öznel, sezgisel bir kavram olduğundan, bir paradoks elde etmek için öz-referansın yarı-esprili bir uygulaması olarak anlaşılmalıdır.
"İlginç" yerine nesnel olarak tanımlanırsa paradoks hafifletilir: Örneğin, Online Tam Sayı Dizileri Ansiklopedisi (OEIS) girişinde yer almayan en küçük doğal sayı, 12 Haziran 2009'da başlangıçta 11630 olarak bulunmuştur. Bu tanıma uyan sayı, Kasım 2009'dan en az Kasım 2011'e kadar 12407, daha sonra Nisan 2012'ye kadar 13794 olmuştur, 3 Kasım 2012'de OEIS: A218631 dizisinde yer alana kadar. Kasım 2013'ten itibaren, en az 14 Nisan 2014'e kadar bu sayı 14228 idi. Mayıs 2021'de sayı 20067 idi. (İlginç olmayan sayıların bu tanımı, OEIS'in her giriş için sadece sonlu sayıda terim listelemesi nedeniyle mümkündür. Örneğin, OEIS: A000027 tüm doğal sayıların dizisidir ve sonsuza kadar devam ettirilirse tüm pozitif tamsayıları içerirdi. Olduğu gibi, dizi girişinde sadece 77'ye kadar kaydedilmiştir.) İlginç sayılar listesi için kullanılan kaynaklara bağlı olarak, aynı şekilde ilginç olmayan olarak nitelendirilebilecek çeşitli başka sayılar bulunabilir. Örneğin, matematikçi ve filozof Alex Bellos, 2014 yılında, o zamanlar [İngilizce dil sürümünde] kendi sayfasına sahip olmayan en düşük sayı olan 224'ün en düşük ilginç olmayan sayı adayı olduğunu öne sürmüştür. Ağustos 2024 itibariyle bu sayı 315'tir.
Ancak matematikte öz-referans kullanan birçok önemli sonuç vardır (örneğin Gödel'in eksiklik teoremleri), paradoks öz-referansın gücünü gösterir ve bu nedenle birçok çalışma alanında ciddi konulara değinir. Bir "ilginç" sayıyı, sayıdan daha az bit içeren bir program tarafından hesaplanabilen bir sayı olarak tanımlarsak, paradoksu doğrudan Gödel'in eksiklik teoremlerine ilişkilendirebiliriz. Benzer şekilde, ilginçlik duygusunu nicelleştirmeye çalışmak yerine, bir sayıyı belirtmek için gerekli ifade uzunluğunu düşünebiliriz. Örneğin, "on bir kelimeden daha az ifade edilemeyen en küçük sayı" ifadesi benzersiz bir sayı belirlemeli gibi görünür, ancak ifade kendisinde sadece on kelime içerir, bu nedenle ifadeyle belirtilen sayı yine de on birden az kelime ile ifade edilebilir. Buna Berry paradoksu denir.
Tarih
[düzenle]
1945'te Edwin F. Beckenbach, The American Mathematical Monthly'de,
Pozitif tamsayılardan her biri için ilginç bir gerçek olduğu varsayılabilir. İşte bu durumun böyle olduğunu gösteren bir "tümevarım yoluyla ispat". Kesinlikle, her pozitif tamsayının çarpanı olan 1, en küçük asal sayı olan 2, en küçük tek asal sayı olan 3, 4, Bieberbach sayısı vb. S pozitif tamsayı kümesi, her biri için ilginç bir gerçek olmadığı varsayılan küme boş değilse ve k, S'nin en küçük üyesiyse. Ama bu k! ile ilgili çok ilginç bir gerçektir. Dolayısıyla S'nin en küçük bir üyesi yoktur ve bu nedenle boştur. İspat geçerli midir?
diye öne süren kısa bir mektup yayınladı.
Constance Reid, 1955 tarihli popüler matematik kitabı From Zero to Infinity'nin ilk baskısında paradoksu içerdi, ancak daha sonraki baskılardan çıkardı. Martin Gardner, 1958'de Scientific American köşesinde paradoksu "yanlışlık" olarak sundu ve iddia edilen kanıtları da incelikli bir şekilde hatalı olan altı diğer "şaşırtıcı iddia" ile birlikte sundu. 1980 tarihli The Mathematics Teacher'a yazılan bir mektup, üç on yıl önce "tüm doğal sayıların ilginç" olduğunu iddia eden bir şaka ispatından bahsediyor. 1977'de Greg Chaitin, Gardner'ın paradoks beyanını ifade etti ve Bertrand Russell'ın daha önceki, en küçük tanımlanamayan sıra ordinalin varlığı paradoksuna ilişkisini vurguladı (tüm sıralı kümelerin en küçük bir öğesi olmasına ve "en küçük tanımlanamayan sıra ordinalin" bir tanım gibi görünmesine rağmen).
The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (1987) kitabında David Wells, 39'un "ilk ilginç olmayan sayı" gibi göründüğünü, bu gerçeğin onu "özellikle ilginç" kıldığını ve dolayısıyla 39'un aynı anda hem ilginç hem de sıkıcı olması gerektiğini yorumladı.