Bugün öğrendim ki: matematikçi Évariste Galois henüz ergenlik çağındayken, 350 yıldır açık olan bir problemi çözebildi. Sonra 20 yaşındayken, hala bilinmeyen sebeplerden dolayı bir düelloya girdi ve aldığı yaralardan dolayı öldü.
Fransız matematikçi (1811–1832)
"Galois" buraya yönlendiriliyor. Diğer kullanımlar için bkz. Gallois (belirsizleştirme).
Évariste Galois (;[1] Fransızca: [evaʁist ɡalwa]; 25 Ekim 1811 - 31 Mayıs 1832), Fransız matematikçi ve politik aktivistti. Henüz gençliğinde, bir polinomun köklerle çözülebilmesi için gerekli ve yeterli bir koşulu belirleyerek, 350 yıldır açık olan bir problemi çözmeyi başardı. Çalışmaları, soyut cebirin iki önemli dalı olan Galois teorisi ve grup teorisi için temel oluşturmuştur.[2]
Galois, ateşli bir cumhuriyetçiydi ve 1830 Fransız Devrimi'ni çevreleyen siyasi kargaşaya yoğun bir şekilde dahil oldu. Siyasi aktiviteleri nedeniyle tekrar tekrar tutuklandı ve birkaç ay hapis yattı. Nedenleri hala belirsiz olan bir şekilde, hapisten çıktıktan kısa bir süre sonra Galois bir düelloda yaralandı ve öldü.[3]
Yaşam
[düzenle]
Erken yaşam
[düzenle]
Galois, 25 Ekim 1811'de Nicolas-Gabriel Galois ve Adélaïde-Marie (kızlık soyadı Demante)'den dünyaya geldi.[2][4] Babası, Cumhuriyetçiydi ve Bourg-la-Reine'in liberal partisinin başındaydı. Babası, 1814'te Louis XVIII tahta döndükten sonra köyün belediye başkanı oldu.[2] Bir hukukçunun kızı olan annesi, Latince ve klasik edebiyatı akıcı bir şekilde okuyordu ve oğlunun ilk on iki yılı boyunca eğitimini üstlenmişti.
Ekim 1823'te, öğretmeni Louis Paul Émile Richard onun parlaklığını fark eden Lycée Louis-le-Grand'a girdi.[5] 14 yaşında matematiğe ciddi bir ilgi duymaya başladı.[5]
Galois, Adrien-Marie Legendre'nin Éléments de Géométrie adlı kitabının bir kopyasını buldu ve söylendiğine göre, "bir roman gibi" okudu ve ilk okumada ustalaştı. 15 yaşında, Joseph-Louis Lagrange'ın, muhtemelen daha sonraki denklem teorisi çalışmalarına ilham veren Réflexions sur la résolution algébrique des équations gibi orijinal makalelerini ve profesyonel matematikçiler için hazırlanmış Leçons sur le calcul des fonctions'ı okuyordu; ancak ders çalışmaları ilhamsız kaldı ve öğretmenleri onu bir dahi gibi davranmakla suçladı.[4]
Çiçeği burnunda matematikçi
[düzenle]
1828'de Galois, o zamanki Fransa'daki en prestijli matematik enstitüsü olan École Polytechnique'e giriş sınavına, matematikteki geleneksel hazırlık olmadan girmeye çalıştı ve sözlü sınavda açıklamalar eksikliği nedeniyle başarısız oldu. Aynı yıl, o dönemde daha düşük düzeyde bir matematik enstitüsü olan École Normale'e (o zamanlar l'École préparatoire olarak biliniyordu) girdi ve burada ona sempati duyan bazı profesörler buldu.[alıntı gerekli]
Ertesi yıl, Galois'in kesirli sayılar üzerine ilk makalesi yayınlandı.[7] Aynı zamanlarda, polinom denklemleri teorisinde temel keşifler yapmaya başladı. Bu konuda iki makaleyi Bilimler Akademisi'ne gönderdi. Augustin-Louis Cauchy bu makaleleri hakem etti, ancak hala belirsiz olan nedenlerle yayınlamayı reddetti. Ancak, aksine birçok iddiaya rağmen, Cauchy'nin Galois'in çalışmasının önemini fark ettiği ve sadece iki makalenin akademi tarafından Matematik Grand Ödülü için yarışmaya katılması için birleştirilmesini önerdiği yaygın olarak kabul edilmektedir. O zamanki önde gelen matematikçilerden biri olan ancak siyasi görüşleri Galois'inkilere tamamen zıt olan Cauchy, Galois'in çalışmalarının muhtemel bir kazanan olduğunu düşünüyordu.[8]
28 Temmuz 1829'da, Galois'in babası, köy papazıyla yaşanan acı bir siyasi anlaşmazlıktan sonra intihar etti.[9] Birkaç gün sonra, Galois Polytechnique'e ikinci ve son girişini denedi ve yine başarısız oldu.[9] Galois'in nitelikli olduğundan şüphe duyulmuyor; başarısız olmasının nedenleri hakkında farklı hesaplar var. Daha olası hesaplar, Galois'in çok fazla mantıksal sıçrama yaparak yetersiz sınav görevlisini şaşırttığını ve bunun da Galois'i öfkelendirdiğini belirtiyor. Babasının yakın zamanda ölmesi de davranışını etkilemiş olabilir.[4]
École polytechnique'e kabul edilmesi reddedilen Galois, École normale'e girmek için Bakalorya sınavlarına girdi.[9] 29 Aralık 1829'da derece alarak geçti.[9] Matematik sınav görevlisi şöyle rapor etti: "Bu öğrenci bazen fikirlerini ifade etmede belirsizdir, ancak zekidir ve araştırma konusunda olağanüstü bir ruh göstermektedir."
Galois, denklem teorisi üzerine anısını birkaç kez gönderdi, ancak yaşamı boyunca hiçbir zaman yayınlanmadı. İlk denemesini Cauchy reddetmiş olmasına rağmen, Şubat 1830'da Cauchy'nin önerisi üzerine akademideki Grand Prix için değerlendirilmek üzere anısını akademi sekreteri Joseph Fourier'e gönderdi.[9] Ne yazık ki, Fourier kısa bir süre sonra öldü[9] ve anı kayboldu.[9] Ödül o yıl, ölümünden sonra Niels Henrik Abel'e ve ayrıca Carl Gustav Jacob Jacobi'ye verilecekti. Kayıp anıya rağmen, Galois o yıl üç makale yayınladı. Bunlardan biri Galois teorisinin temelini oluşturdu.[10] İkincisi, denklemlerin sayısal çözümü hakkındaydı (modern terminolojide kök bulma).[11] Üçüncüsü, sayı teorisinde önemli bir konuydu ve burada sonlu cisim kavramı ilk kez dile getirildi.[12]
Siyasi ateşi başlatan
[düzenle]
Galois, Fransa'da siyasi kargaşanın yaşandığı bir dönemde yaşadı. Charles X, 1824'te Louis XVIII'in yerine geçti, ancak 1827'de partisi önemli bir seçim yenilgisi yaşadı ve 1830'a kadar muhalefet liberal partisi çoğunluğu oluşturdu. Charles, meclislerden gelen siyasi muhalefetle karşı karşıya kalınca darbe gerçekleştirdi ve Temmuz Devrimi'ni[9] başlatan ve Louis Philippe'in kral olmasıyla sonuçlanan ünlü Temmuz Fermanlarını yayınladı. Polytechnique'teki meslektaşları sokaklarda tarih yazarken, Galois, École Normale'de okul müdürü tarafından kilitlenmişti. Galois öfkeye kapıldı ve müdürü eleştiren sert bir mektup yazdı ve mektubu tam adıyla imzalayarak Gazette des Écoles'e gönderdi. Gazete editörü yayına hazırlanırken imzayı çıkarmış olsa da, Galois okuldan atıldı.[13]
Okuldan atılmasının resmi olarak 4 Ocak 1831'de yürürlüğe girecek olmasına rağmen, Galois hemen okuldan ayrıldı ve Milli Muhafızlar'ın kararlı Cumhuriyetçi topçu birliğine katıldı. Zamanını matematiksel çalışmalarıyla siyasi bağlantıları arasında böldü. Birlik çevresindeki tartışmalar nedeniyle, Galois üye olduktan kısa bir süre sonra, 31 Aralık 1830'da, Milli Muhafızlar'ın topçuları, hükümeti istikrarsızlaştırabileceklerinden korkularından dağıtıldı. Yaklaşık aynı zamanda, Galois'in eski birliğinden on dokuz subay tutuklandı ve hükümeti devirmek için komplo kurmakla suçlandı.
Nisan 1831'de, subaylar tüm suçlamalardan beraat etti ve 9 Mayıs 1831'de, Alexandre Dumas gibi birçok ünlü kişinin katıldığı onların şerefine bir ziyafet düzenlendi. İşlemler isyancı bir hal aldı. Bir noktada, Galois ayağa kalktı ve kadehini kaldırarak, "Louis Philippe'e," dedi. Ziyafetteki cumhuriyetçiler, Galois'in tostu kralın hayatına yönelik bir tehdit olarak yorumladılar ve alkışladılar. Ertesi gün annesinin evinde tutuklandı ve 15 Haziran 1831'e kadar mahkemeye çıkarılıncaya kadar Sainte-Pélagie hapishanesinde gözaltında tutuldu.[8] Galois'in savunma avukatı, Galois'in aslında "Louis-Philippe'e, eğer ihanet ederse," dediğini ancak niteleyicinin alkışlarda duyulmadığını ustaca iddia etti. Savcı birkaç soru daha sordu ve belki de Galois'in gençliğinden etkilenen jüri, aynı gün onu beraat ettirdi.[8][9][13][14]
Ertesi Bastille Günü'nde (14 Temmuz 1831), Galois, dağıtılmış topçuların üniformasını giymiş olarak bir protesto gösterisinin başındaydı ve birkaç tabanca, dolu bir tüfek ve bir hançerle ağır silahlanmıştı. Tekrar tutuklandı.[9] Hapishanede kaldığı süre boyunca, bir noktada hücre arkadaşlarının kışkırtmasıyla ilk kez alkol aldı. Bu hücre arkadaşlarından biri olan François-Vincent Raspail, 25 Temmuz tarihli bir mektupta, Galois'in sarhoşken söylediklerini kaydetti. Mektubun bir kısmı şöyle:[8]
Ve sana söylüyorum, bir alt sınıf metresinden dolayı bir düelloda öleceğim. Neden? Çünkü beni onurunun başka biri tarafından tehlikeye atıldığı için intikamını almaya davet edecek.
Biliyor musun bana ne eksik? Bunu sadece sana itiraf edebilirim: Ruhunda sevdiğim ve sadece ruhumda sevdiğim biri. Babamı kaybettim ve hiç kimse yerini almadı, duydun mu...?
Raspail, Galois'in hala bir deliryum halindeyken intihar girişiminde bulunduğunu ve hücre arkadaşları zorla engel olmasaydı bunu başaracağını yazıyor.[8] Aylar sonra, 23 Ekim'de Galois'in yargılanması gerçekleştiğinde, yasadışı olarak üniforma giydiği gerekçesiyle altı ay hapse mahkum edildi.[9][15][16] Hapishanede kaldığı süre boyunca, matematiksel fikirlerini geliştirmeye devam etti. 29 Nisan 1832'de serbest bırakıldı.
Son günler
[düzenle]
Galois, École Normale'den atıldıktan sonra matematiğe geri döndü, ancak siyasi faaliyetlerde bulunmaya devam etti. Ocak 1831'de atılışı resmileştikten sonra, ileri cebir dersleri vermeye çalıştı ve bu da bazı ilgi çekti, ancak siyasi aktivizminin öncelikli olduğu görüldüğü için bu ilgi azaldı.[4][8] Siméon Denis Poisson ondan denklem teorisi üzerine çalışmalarını göndermesini istedi ve o da 17 Ocak 1831'de bunu yaptı. 4 Temmuz 1831 civarında, Poisson, Galois'in çalışmalarını "anlaşılmaz" ilan ederek, "[Galois'in] argümanının titizliği yargılamak için yeterince açık veya yeterince gelişmiş olmadığını" belirtti; ancak red raporu cesaret verici bir notla sona eriyor: "O zaman yazarın tüm çalışmalarını yayınlamasını önerirdik, böylece kesin bir görüş oluşturalım."[17] Poisson'un raporu, Galois'in 14 Temmuz'daki tutuklanmasından önce yapılmış olsa da, hapishanedeki Galois'e ulaşması Ekim ayına kadar sürdü. O zamanın karakteri ve durumu göz önünde bulundurulduğunda, Galois'in red mektubuna şiddetli tepki vermesi ve makalelerini akademi aracılığıyla yayınlamayı bırakıp arkadaşı Auguste Chevalier aracılığıyla özel olarak yayınlamaya karar vermesi şaşırtıcı değil. Ancak, görünüşe göre Galois, Poisson'un tavsiyesini görmezden gelmedi, çünkü hala hapishanedeyken tüm matematiksel el yazmalarını toplamaya başladı ve 29 Nisan 1832'de serbest bırakılana kadar fikirlerini cilalamaya devam etti,[13] ardından bir şekilde bir düello yapmaya ikna edildi.[9]
Galois'in ölümcül düellosu 30 Mayıs'ta gerçekleşti.[18] Düellonun ardındaki gerçek nedenler belirsizdir. Bunun hakkında çok fazla spekülasyon yapılmıştır. Bilinen şey, ölümünden beş gün önce, Chevalier'e gönderdiği bir mektupta açıkça bozulmuş bir aşk ilişkisine atıfta bulunmasıdır.[8]
Orijinal mektuplara ilişkin bazı arşiv araştırmaları, romantik ilgi duyulan kadının, Galois'in hayatının son aylarında kaldığı pansiyondaki doktorun kızı Stéphanie-Félicie Poterin du Motel olduğunu gösteriyor.[19] Galois tarafından kendisi yazılan (adı gibi birçok bölümün ya silindiği ya da kasıtlı olarak çıkarıldığı) mektuplarından parçalar mevcuttur.[20] Mektuplar, Poterin du Motel'in sıkıntılarını Galois'e anlattığını ve bu da onun adına düello yapmaya kışkırtmış olabileceğini ima ediyor. Bu tahmin, Galois'in daha sonra ölümünden önceki gece arkadaşlarına yazdığı diğer mektuplar tarafından da destekleniyor. Galois'in kuzeni Gabriel Demante, düellonun nedenini bildiğini sorulduğunda, Galois'in "kendisini varsayılan bir amca ve varsayılan bir nişanlıyla karşılaşırken, her ikisi de düello yapmaya kışkırttı" dediğini belirtti. Galois kendi ağzından şöyle dedi: "Ben alçak bir metresin ve iki sahtekarının kurbanıyım."[13]
Düelloda rakibi olarak, Alexandre Dumas, aslında Galois'in ilk tutuklanmasına neden olan ziyafette beraati kutlanan on dokuz topçu subayından biri olan Pescheux d'Herbinville'yi adlandırıyor.[14] Ancak Dumas bu iddiasında yalnızdır ve eğer haklıysa, d'Herbinville'in neden dahil olduğunu açıklamakta zorlanılır. Onun o zamanlar Poterin du Motel'in "varsayılan nişanlısı" olduğu tahmin edilmiştir (sonunda başka biriyle evlenmiştir), ancak bu tahmini destekleyen hiçbir açık kanıt bulunamamıştır. Öte yandan, düellodan sadece birkaç gün sonra yayınlanan mevcut gazete kupürleri, rakibinin (baş harfleri "L.D." ile tanımlanan) bir tanımını veriyor ve bu tanım, Galois'in Cumhuriyetçi arkadaşlarından birine, muhtemelen Galois'in aynı suçlamalarla birlikte hapse atıldığı Ernest Duchatelet'e daha doğru uyuyor.[22] Mevcut çelişkili bilgiler göz önünde bulundurulduğunda, katilinin gerçek kimliği tarihe karışmış olabilir.
Düellonun ardındaki nedenler ne olursa olsun, Galois yaklaşan ölümünden o kadar emindi ki, tüm gece Cumhuriyetçi arkadaşlarına mektup yazarak ve fikirlerini ana hatlarıyla anlatan ve üç ekli el yazmasını içeren ünlü Auguste Chevalier'e mektubunu yazdı.[23] Matematikçi Hermann Weyl bu vasiyetname hakkında, "Eğer içeriğinde bulunan fikirlerin yeniliği ve derinliğiyle değerlendirilirse, belki de insanlık tarihinin tüm edebiyatında en önemli yazı parçasıdır." dedi. Ancak, Galois'in ölümünden önceki gece matematiksel düşüncelerini kağıda döktüğü efsanesi abartılmış gibi görünüyor.[8] Bu son makalelerinde, analizde yaptığı bazı çalışmaların kaba kenarlarını özetledi ve akademiye gönderdiği el yazmasının ve diğer makalelerin bir kopyasını açıkladı.
30 Mayıs 1832'nin sabahında, karnından vuruldu,[18] rakipleri ve kendi saniyeleri tarafından terk edildi ve yoldan geçen bir çiftçi tarafından bulundu. Ertesi sabah[18] on saatinde Hôpital Cochin'de (muhtemelen peritonitten) öldü, bir papazın hizmetlerinden kaçındıktan sonra. Cenazesi isyanlarla sona erdi.[18] Cenazesi sırasında ayaklanma başlatma planları vardı, ancak aynı zamanda liderler General Jean Maximilien Lamarque'ın ölümünü duyduklarında ve ayaklanma 5 Haziran'a kadar gerçekleşmeden ertelendi. Galois'in ölümünden önce yalnızca küçük kardeşi olaylardan haberdardı.[24] Galois 20 yaşındaydı. Küçük kardeşi Alfred'e son sözleri şunlardı:
"Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !"
(Ağlama, Alfred! Yirmi yaşında ölmek için tüm cesaretime ihtiyacım var!)
2 Haziran'da, Évariste Galois, tam yeri bilinmeyen Montparnasse Mezarlığı'nın ortak bir mezarına gömüldü.[18][16] Doğduğu şehrin mezarlığında - Bourg-la-Reine - akrabalarının mezarlarının yanında onun anısına bir mezar taşı dikildi.[25]
Évariste Galois, 1832'de öldü. Joseph Liouville, 1842'de Galois'in yayınlanmamış makalelerini incelemeye başladı ve 1843'te değerlerini kabul etti. 1832 ile 1842 arasındaki 10 yılda ne olduğu veya sonunda Joseph Liouville'i Galois'in makalelerini okumaya teşvik eden şeyin ne olduğu belli değil. Jesper Lützen, Joseph Liouville hakkında yazdığı kitabın XIV. Bölümü Galois Teorisi'nde bu konuyu ayrıntılı olarak ele alıyor ancak kesin sonuçlara ulaşamıyor.[26]
Matematikçilerin (Liouville dahil) Galois'in makalelerini kamuya açıklamayı istememiş olmaları, Galois'in Parisli cumhuriyetçilerin başarısız anti-monarşist bir ayaklanması olan Haziran Ayaklanması'ndan 5 gün önce ölen Cumhuriyetçi bir siyasi aktivist olması nedeniyle kesinlikle mümkündür. Galois'in ölüm ilanında, arkadaşı Auguste Chevalier, École Polytechnique'deki akademisyenleri neredeyse Galois'i öldürmekle suçladı çünkü eğer çalışmalarını reddetmeselerdi, o bir matematikçi olurdu ve bazıları öldürüldüğüne inandığı Cumhuriyetçi siyasi aktivizme kendini adamayacaktı.[26]
Fransa'nın hala Terör Saltanatı ve Napolyon döneğinin gölgesinde yaşadığı düşünüldüğünde, Liouville, Haziran Ayaklanması'nın siyasi kargaşası yatışmadan önce Galois'in makalelerine ilgi duymaya başlamış olabilir.[26]
Liouville, nihayet Galois'in el yazmalarını 1846 Ekim-Kasım sayısında Journal de Mathématiques Pures et Appliquées'te yayınladı.[27][28] Galois'in en ünlü katkısı, beşinci dereceden formülün olmadığına dair yeni bir kanıttı - yani beşinci ve daha yüksek dereceli denklemlerin genel olarak köklerle çözülemeyeceğine dair bir kanıttı. Niels Henrik Abel, 1824'te köklerle bir "beşinci dereceden formül"ün imkansızlığını zaten kanıtlamış ve Paolo Ruffini, 1799'da hatalı olduğu ortaya çıkan bir çözüm yayınlamış olsa da, Galois'in yöntemleri, günümüzde Galois Teorisi olarak adlandırılan ve herhangi bir polinom denklemi için, köklerle bir çözüme sahip olup olmadığını belirlemek için kullanılabilen daha derin araştırmalara yol açtı.
Matematiğe katkıları
[düzenle]
Galois'in ölümünden iki gün önce, 29 Mayıs 1832 tarihli arkadaşı Auguste Chevalier'e yazdığı bir mektupta yer alan son satırlardan:[23]
Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.
Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.
(Jacobi veya Gauss'tan kamuoyuna görüşlerini açıklamalarını iste, doğrulukları değil, bu teoremlerin önemi hakkında. Sonra, umarım, tüm bu karmaşayı çözümlemenin kendilerine fayda sağlayacağını düşünen kişiler olacaktır.)
Galois'in toplanan eserlerinin yaklaşık 60 sayfasında, neredeyse tüm matematik dalları için çok büyük sonuçları olan birçok önemli fikir bulunmaktadır.[29][30] Çalışması, çok genç yaşta ölen çağdaş bir matematikçi olan Niels Henrik Abel (1802-1829)'in çalışmalarına benzetilmiştir ve çalışmalarının çoğu önemli ölçüde örtüşmektedir.
Cebir
[düzenle]
Galois'ten önce birçok matematikçi, günümüzde grup olarak bilinenlere dikkat etmiş olsa da, grup sözcüğünü (Fransızca groupe) günümüzde anlaşılan teknik anlamına yakın bir şekilde kullanan ilk kişi Galois'di ve bu da onu grup teorisi olarak bilinen cebir dalının kurucuları arasında yer aldırdı. Bir grubun sol ve sağ yan kümelere ayrışmasını, sol ve sağ yan kümeler çakışırsa uygun bir ayrışma olarak adlandırdı, bu da günümüzde normal alt grup olarak bilinen kavrama yol açtı.[23] Ayrıca, günümüzde anlaşıldığı şekliyle hemen hemen aynı formda, sonlu cisim (onun onuruna Galois cismi olarak da bilinir) kavramını tanıttı.[12]
Son mektubunda Chevalier'e[23] ve ekli el yazmalarında (üç taneden ikincisi), sonlu cisimler üzerindeki doğrusal grupların temel çalışmalarını yaptı:
Asal bir cisim üzerindeki genel doğrusal grubu, GL(ν, p)'yi inşa etti ve pν derecesindeki genel denklemin Galois grubunu inceleyerek, grubunun sırasını hesapladı.[31]
Proje özel doğrusal grup PSL(2,p)'yi inşa etti. Galois bunları kesirli doğrusal dönüşümler olarak inşa etti ve p 2 veya 3 değilse basit olduklarını gözlemledi.[32] Bunlar, değişmeli gruplardan sonra ikinci sonlu basit grup ailesiydi.[33]
PSL(2,p)'nin basit olduğunu ve yalnızca p 5, 7 veya 11 ise p noktası üzerinde hareket ettiğini kaydetti.[34][35]
Galois teorisi
[düzenle]
Ana madde: Galois teorisi
Galois'in matematiğe en önemli katkısı, Galois teorisinin geliştirilmesidir. Bir polinom denkleminin cebirsel çözümünün, polinomun kökleriyle ilişkili permütasyonlar grubunun yapısıyla ilgili olduğunu, yani polinomun Galois grubu ile ilişkili olduğunu fark etti. Bir denklemin köklerle çözülebilmesi için, Galois grubunun bir dizi alt grubunun bulunması gerektiğini, her birinin ardılında normal olmalı ve abel değişmeli bölümle olması gerektiğini, yani Galois grubunun çözülebilir olması gerektiğini buldu. Bunun, matematikçilerin daha sonra Galois'in başlangıçta uyguladığı denklem teorisinden çok daha fazla matematik dalına uyarladığı verimli bir yaklaşım olduğu kanıtlandı.[29]
Analiz
[düzenle]
Galois ayrıca abel integralleri ve kesirli sayılar teorisine bazı katkılarda bulundu.
Son mektubunda yazdığı gibi,[23] Galois, eliptik fonksiyonlar çalışmasından, günümüzde abel integralleri olarak adlandırılan en genel cebirsel diferansiyellerin integrallerini incelemeye geçti. Bu integralleri üç kategoriye ayırdı.
Kesirli sayılar
[düzenle]
1828'deki ilk makalesinde,[7] Galois, bir kuadratik irrasyonel ζ'yi temsil eden düzenli kesirli sayının yalnızca ve yalnızca ζ indirgenmiş bir irrasyonel ise tamamen periyodik olduğunu kanıtladı, yani ζ > 1 {\displaystyle \zeta >1} ve eşleniği η {\displaystyle \eta }, − 1 < η < 0 {\displaystyle -1<\eta <0} koşulunu sağlıyorsa.
Aslında, Galois bundan daha fazlasını gösterdi. Ayrıca, ζ indirgenmiş bir kuadratik irrasyonel ise ve η eşleniği ise, ζ ve (−1/η) için kesirli sayılar ikisi de tamamen periyodiktir ve bu kesirli sayılardan birindeki tekrar eden blok, diğerindeki tekrar eden bloğun ayna görüntüsüdür. Sembollerle şunları elde ederiz:
ζ = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a m − 1 ¯ ] − 1 η = [ a m − 1 ; a m − 2 , a m − 3 , … , a 0 ¯ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}
burada ζ herhangi bir indirgenmiş kuadratik irrasyoneldir ve η eşleniğidir.
Galois'in bu iki teoremini kullanarak, Lagrange'a zaten bilinen bir sonuç çıkarılabilir. Eğer r > 1 bir rasyonel sayı ise ve tam kare değilse, o zaman
r = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a 2 , a 1 , 2 a 0 ¯ ] . {\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}
Özellikle, n tam kare olmayan herhangi bir pozitif tam sayı ise, √n'in düzenli kesirli sayı açılımı, ilk m − 1 kısmi paydaları palindromik bir dizi oluşturan m uzunluğunda bir tekrarlayan bloğa sahiptir.
Ayrıca bakınız
[düzenle]
Bilim tarihi portalı
Évariste Galois'in adını taşıyan şeylerin listesi
Notlar
[düzenle]
Referanslar
[düzenle]
Artin, Emil (1998), Galois Theory, Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-62342-9 – 1944'te yayınlanan ikinci revize baskının yeniden basımı, The University of Notre Dame Press.
Astruc, Alexandre (1994), Évariste Galois, Grandes Biographies (Fransızca), Flammarion, ISBN 978-2-08-066675-8
Bell, E.T. (1937), "Galois", Men of Mathematics, cilt 2 . Hala basılıyor.
Désérable, François-Henri (2015), Évariste (Fransızca), Gallimard, ISBN 9782070147045
Edwards, Harold M. (Mayıs 1984), Galois Theory, Graduate Texts in Mathematics 101, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90980-6 – Bu ders kitabı, tarihsel gelişimiyle birlikte Galois Teorisi'ni açıklıyor ve Galois'in anısının İngilizce bir çevirisini içeriyor.
Ehrhardt, Caroline (2011), Évariste Galois, la fabrication d'une icône mathématique, En temps et lieux (Fransızca), Editions de l'Ecole Pratiques de Hautes Etudes en Sciences Sociales, ISBN 978-2-7132-2317-4
Infeld, Leopold (1948), Whom the Gods Love: The Story of Evariste Galois, Classics in Mathematics Education Series, Reston, Va: National Council of Teachers of Mathematics, ISBN 978-0-87353-125-2 – Fizikçi Infeld tarafından yazılan klasik kurgusal biyografi.
Livio, Mario (2006), "The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry", Physics Today, 59 (7), Souvenir Press: 50, Bibcode:2006PhT....59g..50L, doi:10.1063/1.2337831, ISBN 978-0-285-63743-6
Toti Rigatelli, Laura (1996), Évariste Galois, Birkhauser, ISBN 978-3-7643-5410-7 – Bu biyografi, Galois'in düellosu ve ölümüyle ilgili yaygın efsaneyi sorguluyor.
Stewart, Ian (1973), Galois Theory, Chapman and Hall, ISBN 978-0-412-10800-6 – Galois Teorisi üzerine bu kapsamlı metin, Galois'in kendisinin kısa bir biyografisini içeriyor.
Tignol, Jean-Pierre (2001), Galois' theory of algebraic equations, Singapur: World Scientific, ISBN 978-981-02-4541-2 – Galois teorisinin tarihsel gelişimi.
Neumann, Peter (2011). The mathematical writings of Evariste Galois (PDF). Zürih, İsviçre: European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-104-0.