Bugün öğrendim ki: Gabriel'in Boynuzu hakkında: Sonlu hacme, ancak sonsuz yüzey alanına sahip olduğu için matematiksel bir paradoks. Bu, içini boyayla "doldurabileceğiniz" anlamına gelir, ancak evrende bir atom kalınlığında bir boya tabakasıyla boyasanız bile dışını kaplayacak kadar boya yoktur.
# Gabriel'in Boynuzu ## Hem Sonlu hem de Sonsuz Uygunsuz Entegrasyon üzerinde çalıştığımızda, sonsuza kadar sola veya sağa uzanan, ancak sonlu bir sonucu niceleyen alanlarla karşılaşmak yaygındır. Böyle popüler bir örnek $$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \,\, dx$$'dır. 1$ olarak değerlendirilir. Fonksiyonun ve kapalı alanın bir grafiği aşağıda referans olarak sunulmuştur.![](/images/misfit/calculus-stuff/gabriels-horn/gabriels-horn-1.svg)Ayrıca Calculus'taki devrim hacimlerini aşağıdakileri alarak çalışıyoruz $f(x)$ biçimindeki grafikler ve bunları $x$ ekseni etrafında döndürün. [Diskler ve Yıkayıcılar »](/ders/calculus/volume-of-devolution-by-diss-or-washers/) yöntemi olarak bilinen en yaygın yöntem, her çapraz ince bir disk oluşturmak için işlevin bir dilimi ve ardından birimi elde etmek için her diskin hacmini ($\pi r^2$ burada $r$ gerçekten $f(x)$ işlev yüksekliğidir) entegre edin.İşte görsel bir örnek $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun $x=0$'dan $x=4$'a dönüş hacmi.Derste öğrendiğimiz gibi, $f(x) fonksiyonunun dönüş hacmi $x=a$'dan $x=b$'a kadar olan $, $$\pi \, \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,\, dx$$ denklemiyle verilir. Yukarıdaki Geogebra örneğinde, $f(x) = \sqrt{x}$ $x$ ekseni etrafında $x=0$'dan $x=4$'a döndürüldüğünde oluşturulan hacmi hızlı bir şekilde hesaplayabiliriz.$$ \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \,\, dx$$$$=\pi \int_{0}^{4} x \,\, dx$$$ $=\pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$$$$=8\pi$$Devrimin hacimlerini öğrendikten kısa bir süre sonra, [yüzeyin nasıl hesaplanacağını öğrenin devrim alanları »](/lesons/calculus/surface-of-volution/). Döndürülen yüzey alanları, normal bir $f(x)$ işlevinden döndürülmüş bir 3B şekle nasıl ulaştığımız açısından hacimlere görsel olarak benzer, ancak formül biraz daha karmaşıktır çünkü